Scnowrskyv: Zum Pıcarp’schen Satz. 825 
klein, dass man versucht ist, zu sagen, er existire gar nicht. Zudem 
ist jene Formel sicher unnöthig complieirt; es schien mir wünschens- 
werth. sie durch eine andere zu ersetzen. 
Aus einer Arbeit des Hrn. CararneoporY' geht ein Resultat 
hervor, das ich für sehr interessant halte: Es sei f(x) eine beliebige 
in @ reguläre Function, die in dem Gebiete die Werthe a,b, c nicht 
annimmt, und die in «, gleich d wird; # ihr Werth im Punkte «,. Als- 
dann gehört e zu den Werthen, die eine speecielle Function p(r) der 
Variabeln 7, die elliptische Modulfunction (die selbst weder a noch b 
noch c wird) in einem Kreise der positiven Halbebene annimmt. 
Mittelpunkt und Radius des Kreises lassen sich bestimmen, sobald 
die Werthe a,b,c,d und die Lage der Punkte «,, x, in @ gegeben 
sind. Die Gesammtheit der zulässigen Werthe von e ist geradezu 
identisch mit der Gesammtheit der Werthe, die &#(r) im Innern und 
auf der Grenze des Kreises annimmt. ö 
Nimmt man die letzte Betrachtung meiner früheren Arbeit hinzu, 
so kommt man, wie schon Hr. Laxpau gezeigt hat’, zu einem neuen 
Beweise des Pıcarn’schen Satzes. Ich will einen solchen Beweis und 
einen elementaren, der auf Borer'schen Ideen beruht, hier zusammen- 
stellen. Beide sind bereits vorhanden, aber zum Theil noch mit 
Rechnungen verknüpft, die der Einfachheit des Pıcarn’schen Satzes 
nicht entsprechen. 
Se 
Wir betrachten zunächst solche Funetionen y=g(x), die im Innern 
von @ regulär sind und nur Werthe eines zweiten gegebenen Bereiches // 
annehmen; der Bereich H der y-Ebene soll ebenfalls durch eine einzige 
Linie begrenzt sein. Sind demnach %,,%, die Werthe von y in den 
Punkten «&,, x,, so sind zugleich %, , y, zwei Punkte im Innern von HM. 
y, kann willkürlich gegeben sein; es fragt sich, auf welchen Theil- 
bereich von H der Punkt y, beschränkt ist. 
Es sei #(x, x,) diejenige Function von x, deren absoluter Werth 
im Innern von @ kleiner als ı, an der Grenze gleich ı ist, die ferner 
innerhalb G nur im Punkte x, verschwindet, und zwar nur von der 
ersten Ordnung. Sie ist durch diese Bedingungen bestimmt bis auf 
einen constanten Factor vom Betrage ı. Sie nimmt jeden Werth, 
dessen Betrag kleiner als ı ist, innerhalb G in einem und nur einem 
Punkte an. Ihr absoluter Werth im Punkte «x, ist eine durch die 
Lage der Punkte a,, x, im Gebiete @ vollständig bestimmte Grösse e, 
! Sur quelques gen£ralisations du thieoreme de M. Pıcarn, Comptes rendus 1905. 
®2 Vergl. $ız der Lanvau’schen Abhandlung: Über den Pıcarv’schen Satz. 
Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, Jahrgang 51, 1906. 
