Scuorrey: Zum Pıcarv’schen Satz. 829 
dieser Gebiete angehören. Die Beziehung (2, r) soll so beschaffen sein, 
dass jeder von d ausgehenden Linie, die die Punkte a nicht berührt, 
eine von 7, ausgehende der positiven Halbebene entspricht, und um- 
gekehrt. Unter diesen Umständen ist 2 = #p(r) eine eindeutige regu- 
läre Function in der positiven Halbebene, die in ihr alle Werthe 
annimmt, mit Ausnahme derer des Systems (a); sie ist speciell gleich 
d im Punkte r,. Dagegen ist r = \Y(z) eine unendlich vieldeutige. 
Sie hat zunächst einen regulären Zweig an der Stelle z= d und wird 
dort gleich r,. Regulär fortsetzen lässt sie sich auf jeder von d aus- 
gehenden Linie, die nicht durch die Punkte (a) geht, und sie nimmt 
nur Werthe der positiven Halbebene an. 
Besteht das System (a) nur aus einem oder zwei Werthen, so 
existirt gar keine solche Beziehung (2, r). Denn man hätte sonst eine 
Function r = Y(z) mit nur einem oder zwei singulären Punkten, die 
nur Werthe der positiven Halbebene annimmt; was unmöglich ist. Da- 
gegen existirt die Beziehung und ist bekannt in dem Falle, wo das 
System (a) aus drei Werthen a, b, ce besteht; und hierauf können wir 
uns beschränken. 
Ordnen wir den beiden Variabeln 2, r die dritte © zu, indem wir 
2 = f(x) setzen, und unter /(x) eine im Innern von @ reguläre Function 
verstehen, die speciell im Punkte x, den Werth d hat, aber die drei 
Werthe a,b, ce im Innern von @ nieht annimmt. Ihr Werth im Punkte «, 
sei e. Jedem von a, ausgehenden Wege in @ entspricht vermöge der 
Gleichung 2 = f(x) ein bestimmter von dausgehender in Z, und diesem, 
vermöge r = Y(z), ein bestimmter, von r, ausgehender, in T. Auf 
dem ersten ist z eine reguläre Function von x, auf dem zweiten r 
eine ebensolehe von z. Folglich ist r eine im Gebiete G@ reguläre 
Function von x, die speciell in x, den Werth r, hat und im ganzen 
Gebiete nur Werthe der positiven Halbebene annimmt. 
Denken wir uns in @ einen Weg, der von x, nach &, führt, und 
die beiden entsprechenden Wege in Z nnd T. Der Endpunkt des 
zweiten Weges ist e, der des dritten sei r,. Dann ist e zugleich der 
1 
Werth der eindeutigen Function = f(x) für 2=x,, und der ein- 
deutigen z=d#(r) fürr=r,. Tr, betrachtet als Function von x, nimmt 
in x, den Werth r,, in x, den Werth r,, und im ganzen Gebiete nur 
Werthe der positiven Halbebene an. Es ist daher, zufolge S ı: 
wo 7, das Bild von r,, d.h. die zu r, conjugirte Grösse, bedeutet. 
Hiernach ist e nothwendig einer der Werthe, die die Function 
g(r) im Innern und auf der Grenze des Kreises: 
