830 Sitzung der phys.-math. Classe v. 21. Nov. 1907. — Mittheilung v. 7. Nov. 
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TE Be 
= Se 
annimmt. Dies ist der UArAarneonorvy'sche Satz. 
Da r, ein Werth von U(2) für 2= e ist, kann man auch sagen: 
Unter den Werthen von (er) ist mindestens einer, r,, der in dem an- 
gegebenen Kreise liegt. 
Nennen wir 7, den Abstand des Punktes r, von der reellen Geraden. 
Dann ist der kürzeste Abstand des Kreises von der reellen Geraden 
DEE 
re: 
Eine Folgerung des Satzes ist demnach die: Unter den Werthen 
von 'L(e) giebt es jedenfalls solche, deren zweite Coordinaten grösser 
oder gleich 7’ sind. 
Stellen wir jetzt die Beziehung (2,r) auf. Es seien A,B zwei 
primitive Perioden des elliptischen Integrals 
Veen 
so gewählt, dass der Quotient 
eine positive zweite Coordinate hat. In diesem Ausdruck können wir 
d variiren, indem wir a, b,c constant lassen. Dadurch wird r, der 
Werth einer Function r = (2) für z= d. Diese ist zunächst in der 
Umgebung von 2=d eindeutig definirt, lässt sich aber regulär fort- 
setzen auf jedem nicht durch a, b, ce gehenden Wege und nimmt nur 
Werthe der positiven Halbebene an. Umgekehrt ist 2= gr) eine 
eindeutige Function in der positiven Halbebene, die die Werthe a, b, c 
nicht annimmt. — Die Bedingungen sind demnach sämmtlich erfüllt. 
Es sei x der grösste unter den absoluten Werthen der sechs 
Doppelverhältnisse 
a—b d—c 
en 
US 
ebenso x’ der grösste unter den Werthen (a, b,c,e)|. Es seilterner. 
? dasjenige der Doppelverhältnisse (a,db,c,d), dass den kleinsten ab- 
R I 
soluten Werth hat; also pl = —. 
% 
Einen Quotienten primitiver Perioden kann man bekanntlich durch 
die Formel definiren: 
