834 Sitzung der plıys.-math. Classe v. 21. Nov. 1907. — Mittheilung v. 7. Nov. 
Wir geben jetzt die Bedingung auf, dass der absolute Betrag 
von 2 innerhalb X eine bestimmte Grenze nicht überschreiten soll, 
und nehmen statt dessen an: z soll innerhalb des Gebietes X die drei 
Werthe a,b,c nieht annehmen. Der Pıcarn’sche Satz ist bewiesen, 
wenn gezeigt wird: Auch unter diesen Umständen muss sich = im 
Punkte x = o regulär verhalten. 
Wir setzen R=2r und bezeichnen mit K’ die Fläche des Kreises, 
der mit dem Radius r um den Nullpunkt beschrieben ist, aber wieder- 
um mit Ausschluss des Mittelpunkts. Wir betrachten die Doppelver- 
hältnisse (z,a,Db,c) und bezeichnen mit A den grössten Werth, den 
ihre Beträge auf dem Rande von K’ annehmen. Eine der sechs Func- 
tionen sei {. Es sei ferner x, ein beliebiger Punkt im Innern von K’, 
x, der nächste des Randes. Dann folgt aus der Formel, die wir 
aufgestellt haben: Der Betrag der Änderung, die log(f) erfährt bei 
directem Übergange von x, zu x,, ist kleiner als 
22% 
dei 
Denn bezeiehnen wir mit @ die Fläche des Kreises, der mit dem 
Radius r um «x, beschrieben ist, so ist im Innern von @ die Function 
z regulär und von a,b, c verschieden. Im Punkte x, sind die abso- 
luten Beträge der Grössen (z,a,Dd,c) kleiner oder gleich A. x, liegt 
gleichfalls im Innern von G@, und die Excentrieität e der Punkte x,, x, 
a 
in Bezug auf G ist gleich | —— 
[e) 
Da x, in der Verbinduneslinie 
ı fo) 
X 
von x, und © liegt, so ist I—e= = 
log (t) ist innerhalb K nicht nothwendig eindeutig, sondern kann 
sich um eine Grösse 2nri ändern, wenn x im positiven Sinne den Null- 
punkt umkreist. Wir denken uns deshalb eine zweite Function % 
gebildet, genau von denselben Eigenschaften wie 2; wir bezeichnen 
das Maximum der Werthe Iv; a,b,c)| auf dem Rande von K’ mit u 
und eine der sechs Funetionen mit s. Dann ist die Änderung, die 
log (s) erfährt auf der geraden Linie x, x,, absolut genommen kleiner 
n 
als 2?’ u 
I 
Wir wählen aber y und s in der Weise, dass sich log(s) bei der 
Umkreisung des Nullpunkts um dieselbe Grösse 2n=7 ändert wie log (?). 
Dann ist die Differenz log(d) — log(s) = f(x) eine in K eindeutige 
Function. Der grösste Werth, den der absolute Betrag von f(x) auf 
der Randlinie von K’ annimmt, nennen wir A, und setzen ausserdem 
2’(A+u) =B. Dann ist offenbar: 
