920 Sitzung der physikalisch- mathematischen Classe vom 19. December 1907. 
wo A und B einfach berandete Flächen sind. Hr. CArarneonory hat 
bemerkt', dass die elliptische Modulfunetion als Lösung dieses Pro- 
blems in einem interessanten Specialfalle aufgefasst werden kann, 
nämlich in dem, wo B die positive Halbebene, A die ganze Ebene, 
mit Ausschluss der Grenzpunkte 0, ı1,00ist. Er hat auch richtig 
angegeben, wie die Lösung sich gestaltet, wenn statt dreier beliebig 
viele Grenzpunkte gegeben sind. In dem allgemeinen Falle, wo Punkte 
und Linien die Grenzen der beiden Gebiete bilden, habe ich folgen- 
des Resultat erhalten: 
l. Man kann die allgemeine Aufgabe auf die speciellere zurück- 
führen, wo das eine Gebiet D die positive Halbebene ist. 
II. Unter dieser Annahme und unter Ausschluss des Falles, wo 
nur Punkte die Begrenzung von A bilden, ist zwar nicht «x selbst, 
aber jede von den charakteristischen Funetionen der Fläche A eine 
in der ganzen y-Ebene eindeutige von y, die allerdings unbestimmt 
wird in unendlich vielen auf der reellen Linie gelegenen Punkten. 
Sie bleibt ungeändert bei einer bestimmten Gruppe linearer Sub- 
stitutionen der Variabeln y, und zwar ist die Anzahl der unabhängigen 
Substitutionen gleich z, wenn +1 die Anzahl der Grenzen von A 
bedeutet. Diese Funetionen gehören im Wesentlichen zu denen, die 
ich am Schlusse meiner Doctor-Dissertation definirt, und deren 
Wichtigkeit ich besonders hervorgehoben habe’, zu einer Zeit, wo 
noch nichts veröffentlicht war über automorphe Funetionen, noch 
über lineare Differentialgleichungen, deren Coeffieienten irrationale 
algebraische Functionen sind. 
In dem ausgeschlossenen Falle giebt es keine Randlinien von A; 
deshalb kann die Variable y nicht über die Grenze von B, d. h. über 
die reelle Linie, hinausgehen. Davon abgesehen sind die Functionen 
auch in diesem Falle von derselben Art, wie die übrigen. 
! Sur quelques gencralisations du theoreme de M. Pıcarn. Comptes rendus 1905. 
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2 Über die conforme Abbildung mehrfach zusaminenhängender ebener Fläclıen, 
Berlin. Diss., 1875. Ich sage dort (S. 55): »Wir gehen jetzt über zu dem Falle, dass 
jede der Linien L durch eine einzige Kreislinie gebildet wird. Dann existirt kein 
singulärer Punkt auf der Grenze des Gebietes, und es ist dieser Fall deshalb von 
besonderer Wichtigkeit, weil daun x und ©» nicht nur im Innern des Gebietes A, 
sondern (mit Ausnalıme vereinzelter singulärer Punkte, an welchen diese Functionen 
unbestimmt werden) in der ganzen Ebene den Charakter eindeutiger rationaler Func- 
tionen besitzen.« Damit ist ausgesprochen, dass jede algebraische Gleichung @ (u,v) = o 
von beliebig hohem Geschlechte aufgelöst werden kann durch eindeutige Functionen 
einer Variabeln x, die den elliptischen, aber noch mehr den von Jacosı behandelten 
analog sind, die der Gleichung f(gx) =/(x) genügen. — Rırmann war allerdings diese 
Thatsache längst bekannt. Aber von dein 1876 veröffentlichten Rıemann’schen Frag- 
ment: »Gleichgewicht der Elektrieität auf Cylindern mit kreisförmigem Querschnitt 
und parallelen Axen«, in dem ungefähr dasselbe Problem behandelt wird, wie in 
meiner Dissertation, hatte ich durchaus keine Kenntniss. 
