Scnorrky: Beziehungen zwischen ebenen Flächen. 92] 
1% 
un 
Wir fassen zuerst einige einfache Fälle in's Auge. 
I. Es sei A die Fläche eines Kreises, der mit dem Radius ı 
um den Punkt «= 0 gezogen ist, aber mit Ausschluss des Punktes 
x2=0, so dass die Begrenzung von A durch die Peripherie und den 
Mittelpunkt gebildet wird; B sei die positive Halbebene. — Wir 
setzen: 
log(«) =iy. 
Dann ist die zweite Öoordinate von y positiv, wenn x im Innern von 
A liegt, und umgekehrt |x| von o verschieden, aber kleiner als ı, 
wenn y einen Punkt der positiven Halbebene bedeutet. Zugleich ist y 
eine im Innern von A unendlich-vieldeutige, aber reguläre Function 
von x, x eine im Innern von D eindeutige reguläre von y. An der 
Randlinie von A ist y ebenfalls eine reguläre Function von x, und 
zwar ist dort y eine reelle Grösse, die beständig wächst, wenn x be- 
liebig oft die Randlinie im positiven Sinne durchläuft. 
Das Beispiel lässt sich leicht verallgemeinern, indem man für A 
ein beliebiges Gebiet nimmt, das eine einzige Grenzlinie und einen 
einzigen Grenzpunkt &, hat. Man hat dann nur die Abbildungsfunc- 
tion E(x, x, zu bilden und zu setzen: 
PeZlas) =i: 
I 
Auch hier wird y singulär im Punkte «x, wie ; log (7 — 2,). 
U. Es sei wie vorhin B die positive Halbebene, A aber die 
Ringtläche zwischen zwei concentrischen Kreisen mit dem Mittelpunkte 
x=0. Der Radius des grösseren Kreises sei I, der des kleineren q. 
Wir setzen log(g) = —v, so dass v positiv ist. — Es sei 
log(2) 12, vlogy) —=rz2, 
und zwar soll log(y) den logarithmischen Hauptwerth bedeuten, der 
in der positiven Halbebene eine eindeutige reguläre Function von Y 
ist. Wir könnten die Beziehung auch so darstellen, dass wir unter & 
den Hauptwerth von y* verstehen: hierbei ist A durch die Gleichung 
zir = log (g) definirt. 
Liegt x in der Fläche A, so liegt die zweite Coordinate von 2 
zwischen O und v, die von log(y) zwischen oO und r: es ist daher 
ein Punkt im Innern von B. Das Umgekehrte gilt ebenfalls; es ist 
ferner offenbar, dass y eine in A zwar vieldeutige, aber reguläre Function 
von x ist, und x in B eine reguläre von y: die Aufgabe ist somit 
gelöst. Auch auf den beiden Randlinien von A ist die Variable y eine 
reguläre Funetion von x, und zwar ist sie positiv auf der einen, 
