922 Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe vom 19. December 1907. 
negativ auf der anderen Linie; sie nimmt beständig zu. wenn x eine 
der Randlinien so durchläuft, dass das Innere von A zur Linken bleibt. 
Il. 3 sei wiederum die positive Halbebene. A die ganze Ebene, 
mit Ausschluss dreier Punkte a, d,c. Es ist bekannt, dass in diesem 
Falle die Aufgabe gelöst wird. indem man für y den Quotienten zweier 
Perioden des Integrals 
Re dt — — 
h (—a) (t—b) t—.c) (t—.a) 
setzt; ebenso ist bekannt, dass alsdann entweder y selbst, oder eine 
reelle lineare Function von y. im Punkte a singulär wird wie: 
1 
ir 
. oe (a —a). 
i 
Von b und c gilt dasselbe. 
8.2. 
Nehmen wir jetzt den allgemeinen Fall. Ausser A und B sei 
ein drittes Gebiet C gegeben in der Ebene der Variabeln 2, und es 
seien zwei reguläre Beziehungen (x, 2) und (y, 2) aufgestellt zwischen 
A und © einerseits, zwischen 3 und C andererseits. Daraus lässt 
sich eine reguläre Beziehung (x,y) zwischen A und B herleiten. 
Denn es sei z, ein Punkt im Innern von (©. Durch die Be- 
ziehungen (, 2) und (y, 2) sind x und y im Innern von C als reguläre 
ein- oder mehrdeutige Funetionen von 2 bestimmt; wir denken uns 
Zweige, die in der Nähe von 2, eindeutig definirt sind. Diese 
mögen im Punkte =, die Werthex = x, y=y, ergeben. — Damit 
ist zugleich, wenn wir 2 als abhängig von x auffassen, ein Zweig 
dieser Funetion in der Nähe von x, eindeutig definirt. Jeder von x, 
ausgehenden Linie a, x, des Gebietes A entspricht nun eine bestimmte 
in z, anfangende 2, 2, des Gebietes C', dieser eine in y, anfangende %, Y,, 
die im Innern von B bleibt; es entspricht also jeder Linie a,x, in 
A eine andere y,y, in B und umgekehrt, und die so definirte Be- 
ziehung (x,y) ist eine reguläre, da die vermittelnden Beziehungen 
regulär sind. Wir können demnach sagen: 
Eine reguläre Beziehung (x, y) zwischen A, B ist gegeben, so- 
bald jedes der beiden Gebiete in reguläre Beziehung zur positiven 
Halbebene gebracht ist. 
Aus diesem Grunde beschränken wir das Problem und verstehen 
von jetzt ab unter B die positive Halbebene. Da alsdann B einfach be-' 
randet ist, so ist = \(y) eine in B eindeutige reguläre Function, 
während „= (a) in A zwar regulär, aber unendlich vieldeutig ist. 
