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Neuer Beweis eines Satzes über endliche Gruppen. 
Von Dr. J. Scuur 
in Berlin. 
(Vorgelegt von Hrn. Frosexivs.) 
E seiner Abhandlung »Über auflösbare Gruppen. IV.« (Sitzungsbe- 
richte 1901, S.1216) hat Hr. Frogenıus mit Hülfe der Theorie der 
Gruppencharaktere folgenden Satz bewiesen: 
I. »Ist die Gruppe & der Ordnung g in der Gruppe S der Ord- 
nung A— gn enthalten, sind je zwei Elemente von ®, die in $ con- 
Jugirt sind, auch schon in & conjugirt, ist r die Ordnung und m der 
Index der Commutatorgruppe RN von 6, und sind m und n theiler- 
fremd, so erzeugen die Elemente von 9, deren Ordnungen in n auf- 
gehen, zusammen mit der Commutatorgruppe von S$ eine charakte- 
ristische Untergruppe © von 9, deren Ordnung s durch r und n, 
und deren Index durch m theilbar ist. Sind 9 und n theilerfremd, 
SOR SIE S— 7 — 2 und die commutative Gruppe 2 
5 st der Gruppe n 
isomorph.« 
Für diesen Satz soll im Folgenden ein neuer Beweis abgeleitet 
werden, der zwar in seinen Grundzügen dem von Hrn. FrogEnıvs ge- 
gebenen Beweis nahe verwandt ist, der aber von der Theorie der 
Gruppencharaktere keinen Gebrauch macht. 
Es seien G,,G,, ::: @, die Elemente von ®, ferner sei 
5 = SA, +64; + Su +64,. 
Dann lässt sich jedes Element P von 9 auf eine und nur eine Weise 
in der Form @A, darstellen; es möge das Element @, mit @,, das 
Element A, mit A, bezeichnet werden. Ist dann Q ein beliebiges 
zweites Element von 9. so ergibt sich aus 
li 
und 
ApQ = G4,Q 44,Q 
die Gleichung 
PQ= GpG4,qAaza- 
