J. Scaur: Neuer Beweis eines Satzes über endliche Gruppen. 1017 
Ebenso zeigt man, dass, wenn 
Y Y Eier a. — ( v 
G45,P@a5, P G Aa,P TB 
gesetzt wird, 
RG— RP 
ist, u.s.w. Da nun oftenbar 
RE IE RE NRGHENGERN: 
« [43 
ist, so erhält man 
(5.) Rp hPa Nr —= (RR): 
Nun soll aber n zu der Ordnung m der Gruppe = theilerfremd 
sein. Daher stimmen wegen (5.) die den g Elementen @,.@,,:::@, 
entsprechenden Oomplexe R, ,R;,, : R,,, abgesehen von der Reihen- 
folge, mit den Complexen RG,,RG,; RG, überein. Unter diesen 
Complexen sind aber genau m von einander verschieden; daher ist 
; R BSR A 
die oben erwähnte Zahl = nicht kleiner als m und, weil Es ist, 
gleich m. 
Damit ist gezeigt, dass die Untergruppe % von 9 vom Index m, 
8 s sruf 
also von der Ordnung rn ist. Zugleich ersieht man, dass die Gruppe 
x der Gruppe R isomorph ist. 
- . 
a die @r i : ae sie die er ; 
Da die Gruppe z eine commutative ist, so enthält die Gruppe % 
die Öommutatorgruppe von 9. Sie enthält aber auch jedes Element 
Q von 9, dessen Ordnung in n aufgeht. Denn aus © = E folgt 
auch WR —= NR; zugleich ist aber auch W—= NR, also, weil n und m 
theilerfremd sind, R,=NR; mithin ist das Element Q unter den 
t Elementen (4.) enthalten. 
Daher ist die in unserm Satz erwähnte Gruppe © in % ent- 
h h j 5 : ? 
halten, also En durch Zei theilbar. Man schliesst ferner leicht, dass 
s durch r und n theilbar ist. Sind insbesondere g und  theilerfremd, 
> der Gruppe ® isomorph 
Derier were ll 
© PPe m I 
Für r=1 erhält man (vergl. a.a. OÖ. $ 2) aus dem eben be- 
soistts-rn=t, also &© = %, folglich auch 
wiesenen Satze als speciellen Fall den von Hrn. Frogenıus in seiner 
Arbeit »Über auflösbare Gruppen. IlI.« (Sitzungsberichte 1901, S. 849) 
bewiesenen Satz: 
HU. »Sind fund g theilerfremde Zahlen, und enthält eine Gruppe 9 
der Ordnung fg eine Gruppe ‘5 der Ordnung f, von deren Elementen 
nicht zwei in Bezug auf $ conjugirt sind, so enthält 5 eine und nur 
