E. Landau: Neuer Beweis der RiEMANN'schen Primzahlformel. 73^ 



Neuer Beweis der RiEMAJmschen Primzahlformel. 



Von Prof. Dr. Edmund Landau 



in Berlin. 



(Vorgelegt von Hrn. Frobenius.) 



IN achclem Rie.manx im Jalire 1859 seine berülunte Primzahlformel in 

 diesen Akademieberichten auf heuristischem Wege entwickelt hatte, 

 vergingen 35 Jahre, bis ein Beweis gelang. Dies große Verdienst 

 gebührt Hrn. von Mancoldt, welcher von den HADAMARDSchen Resul- 

 taten über die Zetafunktion ausging und durch Hinzufügung einer 

 langen Kette scharfsinniger Schlüsse zum Ziele kam. Dieser Beweis 

 war so umfangreich, daß Hr. von Mangoldt in diesen Akademieberichten 

 vom Jahre 1894 nur einen Auszug aus ihm veröffentlichte und die 

 vollständige Begründung 1S95 im Bd. 114 des CRELLEschen Journals 

 nachfolgen ließ. Es ist mir nun gelungen, auf einem wesentlich kür- 

 zeren Wege zur RiEMANNschen Formel zu gelangen ; der folgende Beweis 

 ist übrigens der RiEMANNSchen heuristischen Methode näher verwandt 

 als der von MANGOi.DTSche. Ich setze hier meinen neuen Beweis mit 

 allen Einzelheiten (insbesondere genauer Begründung einiger meist be- 

 kannter Hilfssätze) auseinander, gleichfalls von Hrn. HAnAiMARos klassi- 

 scher Produktdarstellung der ganzen Funktion (s-l)s(.s) ausgehend. 

 Eine zAveite durch die neuen Kunstgriffe wesentlich abgekürzte Beweis- 

 anordnimg auf VON MANGOLDTScher Grundlage werde ich demnächst an 

 anderer Stelle publizieren und dort gleichzeitig zum erstenmal die 

 entsprechende allgemeinei-e Formel für die Primzahlen einer arithmeti- 

 schen Progression beweisen. 



Hilfssatz i: Es werde die komplexe Variable .s := er + // 

 gesetzt. Für -1<ö-<2, t>2 und für er ^ 2, ^> ist 



r'(6') 



- «1 loa 



r(.) 



wo «1 (desgl. später a.,, . . .) eine absolute Konstante bezeichnet. 



Sitzungsberichte 1908. 69 



