E. Landau: Neuer Beweis der Rie.hann- 'sehen PrimzahH'oniiel. 



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Beweis: Wie zuerst Hr. Hadamard im Bd. 9 (1S93) der Ser. 3 

 des LiouviLLESchen Journals bewiesen hat, ist die Summe der rezi- 

 proken Quadrate der nicht reellen Wurzeln p = /B + 7« {Q < ß -<1) von 

 C(s) absolut konvergent und (mit konstantem B) bei jeder Anordnung 

 der p 







Daher ist für s = 2 + Ti. T^2, wenn der Hilfssatz 1 benutzt wird, 



i ? 



folglich wegen 

 Sil 



+ 1 



«., log T 





2-ß 



rr + 



~ > 



1 



(2 - ß)-^ + (7- yy ' ß' + f 4 + {T- yf - 4 \ + {T- yY 



(2) 



y -L 



^ 1 + {T 



+ {T-yy 



• 4«,, lo2' T = ö|„ loo- T 



In der Summe links gibt es N(T+\)-N(T) Glieder, für welche 



r<7<r+l ist; jedes derselben ist 2S ^ ■ Daher ist 



-V(7'+ l)-A'(7')-.2rt,„log7'= öJog-7'. 



Hilfssatz 5: Wenn a in i' nur die Wurzeln durchläuft, 

 für welche [T-yI^I ist, so ist für alle T^2 



Beweis: Nach (2) ist 



Hilfssatz 6: Für s= t + Ti , -l<o-<2, T^2 ist 



^i^^^j) 



los 



Beweis: Nach(i) und dem Hilfssatz i ist, da !'li(s + 3)>2 ist, 



2(. 



+ 3 -p 



:«.:,+ 2 "'l^g 



+ 3 



+ 1 



rt,,log|.s| 

 69* 



