E. LANn.vr: Neuer Beweis der RiEMANN-'schen Primzahlfonnel. 



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wo I 2;,- y| 11:1 in i', -^1 in :;" ist. Nach den Hilfssätzen i, 4, 6 und 7 

 ist (da S" nur höchstens o, Jog T, Glieder umfaßt, deren jedes absolut 

 ^a,slog7; + fl,c ist) 



:{s) 



iJ I + I + a,, log I .V I + rt, , log I .y I + a, , log' T^ < «,, log' | * | ; 



für (j^-l , t -- T„ ist nach dem Hilfssatz 3 



. rt. logl«! ---«,, lo" 



daher ist für t^2 , t = 2], 



s 



logC(.) I = I log ;'(2 + 7;,;) + J ^^'^ du 



■i + T;,i 



: log C(2) + (-2 - 0-) a,_, log- 1 .s I < ö,„ (3 - «7) log' | 5 1 , 



satz 3 



llogs(«)| = 



2. Für T = -^, r,|>;>- 7^, ist nach dem Vorigen und Hilfs- 

 log S(--+7;0+ I -i^'-^f/« 



; + y; t 



;-(") 



. a^„ (3+5) log' I Ä I + 27;«., log I s I 

 <a,,{s + T„)\og'\s\. 



Hilfssatz 9: Es sei ^-^-L konvergent un 



d 



i='Vi';„ für nicht ganze x, 

 f= > i-,, — ^ Ivxr ganze x. 



Dann ist 



2+7V ^_ 



1 r .»" ^ o„ 



lim — -. I '--S --d.s=J\x). 



Beweis: Bekanntlich ist 



2 + /■. 



lim ~ i ^ ds — 1 bzw. - für y > 1 bzw. y — l ■ 



r= V -Im J .v 2 



Daher ist 



2+'A ,, 



1 r ^s i"i ii 

 lim — : ^ "K -^ ds = fix) , 



r=cc 27ri j s -^^11' ■' ^ ' 



und es bleibt nur zu beweisen, daß 





,. [..| + i 



