I 46 Gesamnitsitzuiig vom Ki. Juli 1908. — Mittlieilung vom 25. Juni. 



Zwei neue Herleitungen für die asymptotische 

 Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen 



Grenze. 



Von Prof. Dr. Edjiund L.\ndau 



in Berlin. 



(Vorgelegt von Hrn. Frobenius am 25. Juni 1908 [s. oben S. Hol].) 



Einleitung. 



JlLs bezeichne -{x) die Anzahl der Primzahlen *-^.r. Vm den Satz 



(1) H,n ^( ^)lo.g-^- ^ 



möglichst einfach zu beweisen, hat man bisher stets zunächst mit ana- 

 lytischen Methoden bewiesen, daß die Summe ^{x) der Logarithmen 

 aller Primzahlen ^ x die Relation 



(2) lim^-^) = l 



erfüllt; hieraus kann man alsdann ( i ) durch elementare Transformationen 

 ableiten. 



Im folgenden gebe ich zwei neue Beweisanordnungen für den 

 Satz (i) an. Der erste dieser Beweise (§^ i — 3, 4 — 7) führt direkt 

 zu (i) und ist lur einen Leser geschrieben, welcher aus der Zahlen- 

 theorie nur zu wissen braucht, daß jede Zahl eindeutig in Primfaktoren 

 zerlegbar ist, und dem von der Zetafunktion noch nichts bekannt ist. 

 Wohl aber müssen ihm die Kiemente der Theorie der Funktionen einer 

 komplexen Variablen vertraut sein. 



Der zweite Beweis (§§ i — 3, 8 — 12), welcher, abgesehen von dem 

 gemeinsamen Anfang (§§ i — 3), ganz unabhängig vom ersten dargestellt 

 ist, ist gleichfalls für einen Leser ohne Vorkenntnisse bestimmt. Diese 

 Beweisanordnung macht den Umweg über (2), kommt aber dafiir 

 mit viel weniger scharfen Abschätzungen über C (s) aus und wendet 

 auch den C'AucHYSchen Integralsatz nur auf höchst einfache Bereiche 

 (Rechtecke) an. Der ^'orzug dieses Beweises liegt darin, daß er zu- 



