E. Landau: Anzahl der Primzniilen unter einer gegebenen Grenze. 74T 



nächst einige allgemeine Hilfssätze der Analysis entwickelt und mög- 

 lichst wenige der speziellen Eigenschaften der Zetafunktion zu Hilfe 

 nimmt. 



Gremeinsamer Anfang- beider Beweise (§§ 1 bis 3). 



§ I- 



Einführung der Zetafunktion. 



Es bedeute vf für ein konstantes positives u und die komplexe 

 Variable 5 = er + ?/ (c7 = SR (.«)) die ganze transzendente Funktion p''"?", 

 wo log u den reellen Wert des Logarithmus bezeichnet. Dann ist stets 



also bei jedem £>0 die unendliche Reihe 



°° r 



für er > 1 + £ gleichmäßig konvergent. Diese Reihe definiert also eine 

 für (7 > 1 reguläre Funktion von ^% die mit s (*) bezeichnet werde. 

 Wegen der absoluten Konvergenz der Reihe ist für (T > 1 . wenn p alle 

 Primzahlen du rch lä uft , 



/' ] I' ^ -' -' ' rt = l 



also ^ (s) für CT > 1 von verschieden ; ebenda ist mit Rücksicht auf 



1 ,a~L , ■■"■ P'" 



C 



1 

 1- 



7/ 



iiip'" 



(3) ?(*) = «"•" 



wo p alle Primzahlen, /n alle positiven ganzen Zahlen durchläuft. Aus 

 (3) folgt für iT>\ weiter 



Die für « > , .« =i= 1 gültige Identität 

 1 







liefert für o" > 1 , wenn über w = 1 , 2 , 3 , • • • summiert wird, 



