E. Landau: Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze. V49 



(8) \'C{cr + ti)\> -~ ' -r . 



(8) lehrt, daß für alle / 1 



ist. Denn, wenn ':, (s) für s ^ 1 + tl verschwindet, müßte für das be- 

 treffende t 



existieren, wälirend die durch <t-\ dividierte rechte Seite von (8) für 

 zu 1 abnehmendes <t über alle Grenzen wächst, mag ?(1 + 2ü) Null oder 

 von Null verschieden sein. 



!?3- 

 Berechnung eines speziellen Integrals. 



Es sei V eine ganze Zahl '^2, x eine Größe > 0. Dann ist, wenn 

 über die vertikale Gerade er = 2 integriert wird, 

 2 + 00. ^ für 0<.r^, 1 , 



(9) 



f f 



^•-« 2 nt , , , f.. -, , 



Beweis: Die Konvergenz des Integrals steht wegen 



(^5 0) 



(2 + tir 



X- 



IT? 



von vornherein fest. 



I. Wenn 0<a;<l ist, werde (r>0 angenommen und der Gauchy- 

 sche Satz auf das Rechteck mit den Ecken 'l + irl, 2 + ir + tvi ange- 

 wendet; da in ilim reguLär ist, ergibt sich 



(lO) 



/">=/'""?"-/''*?*+/''>■ 



2 — H't 2 — lüi Ü + jr — I" 2 + "■ + » I 



Die Länge jeder Seite ist <2iv, in den drei Integralen rechts ist wegen 

 |s|>(c der alisolute Betrag des Integranden 





Jedes dieser drei Integrale ist also dem absoluten Betrage nach 

 Tuid hat daher für iv = oo den Limes 0; nach (lo) ist also 



<- 



- ds = lim 



ds — 



2-coi 



