E. Landau: Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze. 



00 <x> 



2 + ti\- ^ m I «"■(2+") I "~ I 4 + <■- ^ »w™ 



-CO -oo 



erlaubt. Aus (27) folgt weiter 



'^m ^ p"' -Im I s" ^ ' } t- 



•5Ö 



(28) 

 nun ist 



— log > loa; = > io": - + > 100;— + 





;'S;V. 



<1'7 



p^y 



\0SX 



l 



also (da die Anzahl der Summen rechts nur 

 und jede dieser Summen höchstens gleich der ersten ist) 



1 



~°— -1 = O(log.r) LSt 

 og 2j 



y'=?i'x 



(29) =0 log .V ^ ^ log • ., j = O (log^-.C 7t{\'x)) = (Yx log= .t:) . 



Aus (28) und (29) ergibt sich 



2 + X- i 



;;£ log ^ = ;^ ( 5 z i^) * + (i/.r log"- X) . 



p 



2ntJ s' 



2 — X- i 



.(;' 



Es werde nun a; ^ 3 angenommen und auf den Integranden , Z (.>;) der 

 CAucHYSche Intee'ralsatz bei folgend 



c 



E 

 G 



-F 



CAUCHYSche Integralsatz bei folgendem (nebenan sche- 

 - matisch gezeiclmeten) Integrationsweg ABCDEFEGHA 



angewendet : A =2-x' l , B = 2 -{- x-i , C = 1 - ^^—^-^^ 



^ari, Z) = © + 3/, E = &, F=\, (? = 0-3i, 



i7 = 1 - -j — „-^ir-x~i; AB, BC geradlinig, CD auf 



A 



c log' (x-) 

 der Kurve s = \ 



: loa'' t 



^ — \- tl , DE geradlinig. EF ge- 



radlinig am oberen, FE geradlinig am unteren Ufer 



,ts 

 1 



des Schnitts, EG geradlinig, GH auf der Kurve 



s =: 1 — -. — -ry- , + tl , HA geradUuig. Es darf in den 

 c log'' (— t) '^ " 



singulären Punkt F hinein integriert werden, da Z(.*| 



sich dort nach (26) wie log verhält. Da sonst -^Z(s) auf dem 



iV — 1 S 



Wege und in dem umlaufenen Gebiet regulär ist, ergibt sich 



