E. Landau: Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze. 757 



wegen 



1 



— -1 



5' 



ist daher 



(34) 



(l + (,_i))-"-_i 



-2{s-:) + . 



<«,„(] -5) {e^s^i) 



F E 



E F 



+ = - 27r« .(,-' ds + Lr" (1 - s) ds 



F o 



1 



= - -Ini -, +0{ f '- + -j ds 







gar \iogxJ \logxJ 



= — 2 TT» - 



■2 Tri-, +^^ T -■-- 



log.!- \ log .t: 



Aus (30), (31), (32), (33) und (34) folgt 



(35) 



-^ ^ ü los;;(; 



.<.• 



\log-arj 



+ 0,^. 



§ 7- 

 Übergang zur Funktion 7!-(a;). 

 Es sei (^>0 gegeben. Dann ist nach (35) 



"p^ ~ log {x + &x) \ log' .r / ~ log X \ log' X ) ' 



X^°s 



also, wenn hiervon (35) subtrahiert wird 



X + 6x d. 



.^ .,^ ^ X + dx dx ^ / ^ \ 



log(l+^)2l+ >.l°g-]^ = log^+^(loi^) 



Nun ist 



X + dx 



log(l +d)7T(x) ^log(l +6)^1 + ^ log • ' ^ log ( 1 +60 7r(^ 

 daher ergibt sich für x>^i = ^i(«^) 



log(l+ö)7r(x)<^— (l+a) 



aa; 1 



+ S.V] 



(36) 

 und 



(37) 

 also nach (36) 



(38) 



log(l +d)7i:{x + 6x)> 



7t(x)< 



log X 1 + 6' 



log(l + d) loga; 



(1+' 



