E. Landau: Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze. 759 

 Beweis: ^>0 sei gegeben. Nach (43) ist 



lim ^i^±M^5M = l+i_± = i, 



also fär x > ^^ = ^^ (S) 



Auf der Strecke x (exkl.) bis x + Sx (exM.) mögen, wachsend geordnet, 

 die ganzen Zahlen 3/, , ■■• , y„ liegen. Dann ist nach dem Mittelwertsatz 



q>(x + dx)-q>{x) = (q) (.17 + (5a;) -cp («/„))+ ••■ + (9 (2/2) - 9 (?/.)) + (^(«/i)- 9 H) 

 (46) = (.r + a.f -«/,,) 9' (•/),)+ ••• + iy-y,) 9' (ri,) + iy- x) (p'(ri„) , 



Avo >)(, , • ■ • , •/), je einen Punkt innerhalb der betreffenden Teilstrecke 

 bezeichnet. Es ist nach (42) für jedes auftretende *)„(|U = , 1 , ••• , i') 



also mit Rücksicht auf (46) 



dx 9%(^) ^(p{x + 6x) — (\y{x) g ö,r(l + 6)q>'^{x -\- öx) 



und daher in Verbindung mit (45) für alle x>^J§) 



(47) ^-q7^,9'+W< l + ö'. 



(48) j^^<(\ + 6)cp'J.v + 6x), 



nlso nach (47) imd (48), wenn in (48) r^ statt .r geschrieben wird, 



für alle .r > (1 4- ^')|,(<5) = ^,(f) 



<^'^{x)<(\ + ö)\ 



(1 + °) 

 womit die Behauptung (44) bewiesen ist. 



§ 9- 

 Hilfssatz aus der Funktionentheorie. 



Es sei \^(s) eine analytische Funktion, welche für alle 

 endlichen s mit dem reellen Teil 1 regulär und so beschaffen 

 ist, daß das geradlinige Integral 



1 + cc t 



\\j (s) ds 



1 — 00 l" 



absolut konvergiert. Dann ist für positives x 



