838 Sitzung der physikalisch-niathematisclien Classe vom 23. Juli 1908. 



Zur Theorie der SyminetraKuiictionen. 



Von F. SCHOTTKY. 



In einer Arbeit vom Jahre 1890 «Über die chai-akteristischen Gleicliun- 

 gen symmetrischer ebener Flächen und die zugchihigen AßEi/schen 

 Functionen« (J. f. M. Bd. 106) hatte ich ABEi/sche Functionen von crVa- 

 riabebi, die zum Theil speciellcr, zum Tlieil aber allgemeiner sind als 

 die der RiEJiANN'schen Theorie, in folgender Weise eingefülirt. 



Ich ging aus von der Vorstellung einer Figur, die ich jetzt >> Sym- 

 metral« nenne, eines ebenen, im Allgemeinen von mehreren Randlinien 

 begrenzten Gebietes, das in Bezug auf eine Gerade symmetrisch ist. 

 Die Randlinien können theils solche sein, die von der Axe durchschnitten, 

 theils solche, die von ihr nicht durchschnitten werden. Die letzteren 

 sind paarweise vorhanden. Ich bezeichne die Anzahl der Paare mit r, 

 die der unpaarigen Linien mit n und setze ?J -+- r = er + 1 . 



Unter den charakteristischen Functionen des Symmetrals 5 sind 

 solche vorhanden, die nicht nur an den Rändern von 5, sondern auch 

 längs der im Innern verlaufenden Theile der Symmetrieaxe reell sind. 

 Diese sind identisch mit den charakteristischen Functionen der Hälfte 

 von <S, und da das halbe Gebiet von r+ i Randlinicn begrenzt ist, 

 so sind sie rational ausdrückbar durch zwei unter ihnen, p und q, 

 welche selbst durch eine algebraische Gleicliung vom Geschlechte r ver- 

 bunden sind. 



Fügt man noch eine charakteristische Function c von <S hinzu, 

 die an den Theilen der Axe nicht reell, sondern rein imaginär ist, so 

 ist z" rational durch p , q und alle andern charakteristischen Functionen 

 von -S rational durch (~ ,p, q) ausdi'ückbar. Der Körper (- ,p, q) ist also 

 durch zwei Gleichungen 



G(p,q) = o , :' = II{p,q) 



bestimmt: er ist, der Anzahl der Randlinien entsprechend, vom Ge- 

 schlechte cr-hr: G(p,q) = o ist vom Geschlechte r; H(p,q) ist eine 

 Function, die in 2 n Punkten des Körpers [p , q) von ungrader Ordnmig 

 verschwindet oder unendlicli Avird, ausserdem nur von o-i-ader Ordnunc". 



