Schottky: Zur Theorie der .Syiiiiiietraliuiictionen. 83.) 



Unter den Differentialen erster Gattung des Körpers {^ , p , q) sind 

 T Differentiale des Körpers {p , q); c- andere können in der Form 



R{p,q) dp 



z 



angenommen werden. 



Dem entspricht es, dass die Thetafunctionen des Körpers {z ,p, q) 

 sich rational ausdrücken lassen durch solche von r und solche von er 

 Veränderlichen. Die letzteren und die zugehörigen AßEL'schen nenne 

 ich jetzt Symmetralfunctionen. Ihre Theorie beruht im Wesentlichen 

 auf dem von mir aufgestellten Satze, dass jedes dieser 4" Theta sich 

 darstellen lässt in der Form eines Quotienten, dessen Zähler eine Summe 

 RiEMAXN"scher Thetafunctionen des Körpers {z ,p, q) ist, während der 

 Nenner durch ein einziges Theta von t Veränderlichen gebildet wird. 

 Um die Theorie im Einzelnen vollständig zu entwickeln, ist es aller- 

 dings noth wendig, dass die Wurzelfunctionen des Körpers {z,p,q) 

 bestimmt werden — eine eigenthümliche Aufgabe, die noch nicht in 

 allen Fällen gelöst ist. 



Zu bemerken ist, dass hiermit nicht eine, sondern t -V- 1 verschie- 

 dene Alten AßEL'scher Functionen von er Variabein definirt sind; denn 

 es ist « + T = o"-f- I ; folglich kann 11, ebenso wie r, jeden der Werthe 

 o, I ••■ cr-t- I haben. 



Hr. Wirtinger hebt in seiner Preisschrift: »Untersuchungen über 

 Thetafunctionen« (Leipzig 1895) sehr stark hervor, dass in meiner 

 Arbeit nichts über die Anzahl der unabhängigen Periodicitätsmoduln 

 gesagt wird; er behauptet sogar: «Die Frage nach der Allgemeinheit 

 der neu gewonnenen Functionen komme bei mir gänzlich ausser Be- 

 tracht. « Er kritisirt meine Arbeit und hel)t ihr* gegenüber die Vor- 

 züge der seinigen hervor. Aber meine Arbeit enthielt eine mathe- 

 matische Entdeckung, und Hr. Wirtinger ist der Erste, der sie 

 benutzt hat. 



Die Frage nach der Allgemeinheit der Symmetralfunctionen, die 

 auch von Hrn. Wirtinger nicht entschieden wird — obwohl er einen 

 Beitrag dazu liefert — , soll das Thema der vorliegenden Arbeit bilden. 

 Es ist fast unmittelbar klar, dass die Anzahl der bei den Symmetral- 

 functionen auftretenden Periodicitätsmoduln nicht grösser 



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als 3(7 — n sein kann — eine in anderer Ausdrucksweise von Hrn. 

 Wirtinger angegebene Zahl. Denn da es sich nur um Functionen 

 handelt, die bei conforiner Abbildung des Gebietes ungeändert bleiben, 

 so dürfen wir die Symmetrieaxe als reelle Gerade und sämmtliche 

 Randlinien als Kreise annehmen. Wir dürfen ferner, da noch eine 



