ScHOTTKv: Zur Theorie der Syiiimetralfunctioneii. 841 



Alle ül)rigen Fälle bilden eine dritte grosse Gruppe; sie führen 

 zur Definition von ABEL"schen Functionen, die nspecieller Natur« sind, 

 ebenso wie die AsEL'schen Functionen von mehr als drei Veränder- 

 lichen, die aus der RiEMAxx'schen Theorie entspringen. 



Für die vier Hauptfälle liegen bereits entwickelte Tlieorien vor. 

 Der eine, (7 = 2, m = 3 , r =: o , ist der gewöhnliche hyperelliptische. 

 Den zweiten, er = 3 , r = i oder /« = 3 , liabe ich, den dritten, '7 = 4, 

 hat Hr. Jung, den vierten, «7=5, Hr. Wirtingek durchgeführt. 



Die Aufgabe, die sich in § i dargeboten hat, ist nahe verwandt 

 mit der folgenden: 



Gegeben sei ein unendlich ausgedelnites ebenes Gebiet, das von 

 p ■+- 1 beliebigen Kreisen begrenzt ist. Es ist, nach Gestalt und Lage, 

 durch 30 + 3 Grössen bestimmt, von denen wir sechs — etwa die 

 Coordinaten dreier Punkte — als fest annehmen. Es ist zu beweisen, 

 dass unter den Periodicitätsmoduln der zugehörigen AßEL'schen Func- 

 tionen sich wirklich 30 — 3 unabhängige angeben lassen. • — Der Satz 

 ist offenbar identisch mit dem: Die charakteristischen Gleichungen 

 eines durch o+i willkürliche Kreise begrenzten Gebietes sind «all- 

 gemeine Gleichungen« vom Geschlechte p. 



Die zweite Aufgabe ist einfacher als die erste; wir behandeln 

 sie deshalb zuerst. 



Wir nehmen an, dass die Ki-eise K„,K^-K^ sich gegenseitig 

 ausschliessen, und demnach, dass das Gebiet sich in"s Unendliche er- 

 streckt. Die 31ittelpunkte seien P„, P,, die Radien S^ , ^^ u. s. f. P sei 

 der Punkt x ; die Entfernung PP^ bezeichnen wir mit /'„ und die 

 zweier Mittelpunkte P„ , P^ mit e„ß . 



Die ^-^ Pei-iodicitätsmoduln lassen sich definiren durch die 



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Werthe der GREEN"schen Functionen. Wenn die Difierenz zweier har- 

 monischer Functionen der Bedingung genügt, dass sämmtliche Integrale 



erstreckt über ilie einzelnen Randlinien der Figur, gleich o sind, wenn 

 diese Difierenz ausserdem eindeutig und regulär ist, so AvoUen wir 

 die beiden Functionen äquivalent nennen. Nun giebt es p beständig- 

 reguläre GREEN'sche Functionen des Gebietes, G,, G^ ■■ G^, die an den 

 Randlinien constante Werthe halben, sj^eciell an K^ den Werth o, und 



die der Bedingung genügen, dass G^ äquivalent log 1 — - j ist. Nennt 



