842 Sitzung der phj'sikalisch-mathematischen Classe vom 23. Juli 1908. 



man + a,, den Werth von G„ am Kreise K^ , so ist «,^ = r/,^ , und 

 dies ist das gewöhnliche System der Periodicitätsmoduhi. 



Hier ist der Kreis K^ bevorzugt. Ein völlig symmetrisches System 

 kann man so erhalten. Es seien K^ , K^ irgend zwei der p + i Kreise. 



Wir bilden diejenige GREEN'sche Function </>, die zu log I — j äqui- 

 valent ist, und bezeichnen mit m^^ die Dift'erenz ihrer Werthe auf 

 den beiden Kreisen. Diese Grössen /«,„ (A , f^ = o , i , 2 • • ■ 3 ; A '^ )u) sind 

 oflenbar ausdrückbar durch die Grössen rt^^, und umgekehrt. Ist /^ = o, 

 so kann man </> ^ G^ setzen; daraus ergiebt sich: ?«,;,„ = +ff,,,>.. Sind 

 al)er A und ju von o verschieden, so hat man: (/> = (?, — G„ und daher: 



m>.. = +a>,x-+- + «uu — «X.- 

 Nehmen wir die Radien der Kreise sämmtlich als sehr klein an, 



so ist log ( ' ) angenähert eine GkeenscIic Function des Gebietes, 

 und logl -^lihr Werth auf Ä'> , log ( -"^ ) der aufÄ'„. Die Differenz 



beider 



f,. 



ilf,„ = log 





stellt allerdings nicht den wirklichen Werth ?)i,^ dar, aber einen, wie 

 sich genau zeigen wird, zweckmässigen Näherungs werth. 



Betrachten wir die Punkte und die Factoren S„ als ganz willkür- 

 lich und wählen aus den Grössen 31-,^ die folgenden 3: — 3 aus: 



Nehmen wir P„, P, , P, als gegeben an, so sind durch die drei 

 ersten Ausdrücke die Factoren ^^,6,,^,, durch ilio„ , M,„, 3/j.„ der 

 Punkt P„ und der Factor ^„ bestimmt. Folglich ist die Functional- 

 determinante der aufgestellten Ausdrücke nach den ^a — 3 Parametern 

 des Gebietes von o verschieden. 



Es ist vortheilhaft, in dem System {p) der Parameter die Radien 

 <^„ durch ihre Logarithmen log ((J„) = %„ zu ersetzen. Dann sind die 

 Ditterential(]uotienten der Ausdrücke J/>„ nach sämmtlichen Parametern 

 oÖenbar unabhängig von %„ ,%,"•■%, und bloss von den Coordinaten 

 der Punkte abhängig. Dasselbe gilt von der Functionaldeterminante. 



Betrachten wir jetzt statt der Näherungswerthe ilf,^ die wirk- 

 lichen ?«,^. Wir können setzen: 



G. = logl^.(x)|, 



wo E^{x) eine im Gebiete eindeutige reguläre und nicht verschwindende 

 Function von x bedeutet. 



