Schottky: Zur Theoi-ie der Symmetralfunctionen. 843 



Nennen wir y die zu x conjugirte Grösse, und a^ , b, die Werthe 

 von X , y im Punkte P, . Dann ist 



{x-a,){y-h,) = hr 



die Gleichung des Kreises K^ , und 



\Ejx)\^ = EJx)K(y). 



Diese Norm ist gleich i auf dem Kreise K„ , = ('"">■ auf Ä\ . Demnach ist : 



Führen wir nun eine lineare Function x-,=:f.,{x) ein durch die Glei- 

 chung 



^\ — a,. x — a^ 



so folgt hieraus: 



E,{x,) = e''"EJx) ().= i,2...f). 



X — o. 



P'ügt man hinzu, dass logjE'^(a) dieselben Perioden hat wie log — 



so ist deutlich, dass E^(x) dieselbe Function ist, die in einer früheren 

 Arbeit von mir vorkommt und die dort auch ebenso bezeichnet ist 

 (vgl. J. f. M., Bd. lOi, S. 247). 



Demnach ist auch e""" die dort auftretende Grösse E"'-, und speciell 

 e"'" oder e' ""° die Grösse E". Sie ist in der Form eines unendlichen 

 Productes dargestellt; die einzelnen Factoren sind rational in den Dop- 

 pelpunkten und Moduln der Substitutionen x^ =/, [x). Diese 3p Grössen 

 Ay, B,, q, sind aber in ganz bestimmter Weise abhängig von den 

 3pH-3:a,, b,, S^. Dabei reducirt sich A^ auf a^, B;^ auf o^, g^ auf o, 

 wenn die Grössen S gleich o gesetzt werden. 



Hieraus folgt, dass von dem Product, durch welches E"' ausge- 

 di'ückt wird, nur der eine Factor q, wesentlich ist. Alle andern 

 — somit auch das ganze übrige Product — reduciren sich auf i, 

 wenn sämmtliche S gleich o werden. Es ist demnach: 



2W'.o = «,K = log ((/.) + 2 A' , 



wo A' einen Ausdruck bedeutet, der gleichzeitig mit den Grössen 6 

 A'-erschwindet. 



Aus der Gleichung 



X. — A, X — A, 



9k 



x. — B. ^'x — B. 



