Schottky: Zur Tlieoiie der Svnimetralfunctionen. h47 



Es folgt hieraus: 



ni,, — log 



(g, — a^) (g, — a^) 



("i — f'3) (0= — «5) 



Wenn demnach «, , Oj , r/3 gegeben sind, so ist durch die Wei-the der 

 >n auch ffj bestimmt; dasselbe gilt von a^ und a^. Dass alsdann auch 

 Ej , e^ u. s. f. feste Werthe erhalten, ist oftenbar. 



Hiermit ist bewiesen, dass im Falle er = 4 , n ■= 2 zwischen den 

 Grössen 111^^ keine Gleichung besteht. Hier sind die Parameter durch 

 die Moduln bestimmt. Ist /* = 2 , er > 4 , so kommen zu dem auf- 

 gestellten System noch neue Gleichungen hinzu. Dass die neuen 

 Grössen ebenfalls durch die Moduln bestimmt sind, z.B. 6^ , Of,, hf, 

 durch die Werthe m,(, , m,^ , m^^ , liegt auf der Hand ; es giebt also 

 auch dann ebensoviel unabhängige Moduln ///,, als Parameter. Ist 

 endlich n = 2 , c < 4 , so haben wir es nur mit einem Theil des 

 betrachteten Gleichungssystems zu thun. Die Moduln sind daher un- 

 abhängig, aber es sind zu wenig Gleichungen vorhanden, um die 

 Parameter durch die Moduln auszudrücken. 



Wir können bald noch eine weitere Folgerung ziehen. Nehmen 

 wir CT = 4 , ?i = I an, so fehlt eine Gleichung, die im Falle g- = 4, 

 /i = 2 vorhanden ist; wir haben: 6, = r/, , al)er nicht: i^ = a^. In- 

 folgedessen sind hier die Moduln imabhängig, aber die Parameter 

 nicht durch die Moduln bestimmt. A fortiori findet dasselbe statt, 

 wenn k = i , er < 4 ist. 



Nehmen wir jetzt n = o an. Hier ist der Hauptfall: u = 5 ; in 

 diesem existiren 15 Moduln: ;»,, . . . //Lg und, wenn wir «, , a^, o^ als 

 fest annehmen, ebensoviel veränderliche Parameter. 



Die Functionaldeterminante I) wirklicli zu bilden, Avürde sehr um- 

 ständlich sein. Aber wir verfahren ähnlich wie früher. Wir denken 

 un.s IJ multiplicirt mit den sechs Differenzen 



h, — a,,b, — a^, h^ — a^,h^ — a.,b- — o^ , b^, — o, . 



Ist der Werth, den dieses Product annimmt, wenn man sämmtliche 

 Differenzen gleich o setzt, von o verschieden, so i.st auch D nicht 

 identisch o. Dieser Werth ist aber nichts anderes als die Functional- 

 determinante derjenigen Ausdrücke ?//„>, in welche die von ///j, , ///jj 

 u. s.w. verschiedenen Functionen übergehen, wenn man b, = a^ , b^ = n^ 

 setzt, u. s. f. Es bleibt demnach nur zu zeigen, dass die Werthe ff,, 

 ff. , ßg , £, , £j • • £5 durch die von 



"'13 > '"35 > "h^ ; '"=4 ' '"46 , "'6= ; "',4 , '".5 » '"vi 



und durcli r/, , n^ , n^ bestimmt sind. 



