848 Sitzung der phj'sikalisch-mathematischen Classe vom 23. Juli 1908. 



Man hat z. B.: 



w,3 = log 



Dadurch ergiebt sich: 



Ol — "3) ("■ — ^4) ("= — «3) («= — «4) ' 



K — 05)(«3 — «6) 



'''.3 + "'46 — '«M — '«36 = log 



(O. — ß3)(«5 — Oe) 



Durcli cyklisclie Vertaiischuiig ergeben sich zwei weitere Doppelver- 

 hältnisse, die durch die Grössen in bestimmt sind: 



[a^ — a,)[a^ — a,) (a^ — a,){a. — a,) 



(«3 — «4)(ö6 — o.) ' («4 — «5) («6 — 0=) ■ 



Dadurch sind oti'enbar 04,03, Og festgelegt. £1, £3 , £5 ergeben sich durch 

 die Ausdrücke für m,^ , ?/i^.^ , /«j, , und ebenso e^ , £4 , £5. 



Hieraus ziehen wir den Schluss, dass für ?z = o , er =: 5 die Mo- 

 duln unahhcängig, die Parameter gerade durch die Moduln bestimmt 

 sind; dass ferner für ?z = o , c" > 5 die 30- Parameter durch eine gleiche 

 Anzahl von 30" Moduln bestimmt werden, dass demnach 30- Moduln un- 

 abhängig sind; endlich, dass für « = o , er < 5 die sämmtlichen Moduln 

 unabhängig sind, während natürlich die Parameter nicht durch sie be- 

 stimmt sind. 



Jetzt bleibt allein der Fall übrig, wo n = 1 , o" > 5 ist. Dann 

 hat man eine Gleichung mehr: A, = o, , als im Falle 7i = o. Es ist 

 klar, dass hierdurch die Anzahl der unabhängigen Moduln um i ver- 

 ringert wird, A^on 3 <j auf 3 er — i . 



Der in § i aufgestellte Satz ist damit bewiesen. 



§ 4- 

 Es ist hier wohl am Platze, wenn ich A^on der grossen Einwii'kung 

 spreche, die Weieestrass auf meine Untersuchungen ausgeübt hat. 

 Weierstrass legte mir 1875 das Problem der allgemeinen AßEL'schen 

 Functionen von p Veränderlichen dar. Er sagte, dass auch in dem 

 allgemeinen Falle, wo die Periodicitätsmoduln unabhängig sind, ein 

 System von p Integralen erster Gattung der Untersuchung zu Grunde 

 gelegt werden könne, das, obwohl zu einer Gleichung höheren Ranges 

 gehörig, dennoch das Additionstheorem und die nur 2c fache Periodicität 

 mit dem Integralsystem der bekannten Theorie gemeinsam habe. Weier- 

 strass fügte hinzu, dass er die transcendenten Bedingungen dieses An- 

 satzes genau festgestellt habe, dass es aber darauf ankomme, die ihnen 

 entsprechenden algebraischen zu linden. 



