ScHoriKv: Zur Theorie der Symmetrall'unctionen. b4.' 



Diese Frage, die ich seitdem in dem kleinen Aufsatz : Über die 

 reducirten Integrale erster Gattung (s. Sitzungsber. d. Berl. Akad. d. Wiss. 

 1904, S. 522) zu beantworten versucht habe', erschien mir damals zu 

 schwer. Weierstrass wies mich deshalb auf die directe Untersuchung der 

 Thetafunctionen hin, namentlich der von vier Variabein. Nach einigen 

 Vorarbeiten construirte ich den sicher nicht RiEMANN'schen Fall", in 

 dem zwei der graden Thetafunctionen von vier Variabein zugleich 

 mit den Argumenten verschwinden. Er führte — aber in langwieri- 

 ger Arbeit, die sich etwa von 1879 — 1889 hinzog — zu dem Falle 

 (T := 4 , r = I des algebraischen Ansatzes G{p , q) = o , z' = H{p , q), 



du„ = — ° , der die Grundlage meiner Arbeit von 1890 bildet. 



Die Theorie der Symnietralfunctionen des Falles r = i war schon 

 von mir ziemlich vollständig durchgeführt worden. 1895 kam in der 

 sclion erwähnten WiRTiNGEi!"schen Schrift die genaue Untersuchung des 

 Falles 7 = 17 + 1, oder w = o, hinzu. Durch die Wahl dieses Pro- 

 blems und die Art seiner Behandlung hat sich Hr. Wirtinger ein ent- 

 schiedenes Verdienst erworben; an der Entdeckung der Symmetral- 

 functionen oder eines Theils derselben hat Hr. Wirtingek keinen An- 

 theil. Ein Fortschritt, der fiir mich überraschend war, ergab sich in 

 den Arbeiten meines früheren Schülers Hrn. Jung, in denen die Fälle 

 T r= 2 und r = ^ behandelt wurden. Namentlich die Jung'scIic Ab- 

 handlung über die allgemeinen Thetafunctionen von vier Veränderlichen 

 (Sitzungsber. 1905, S. 484) scheint mir von grosser Wichtigkeit, und 

 ich hoffe, dass sie die Grundlage bilden wird lür die vollständige Lösung 

 des Problems der Symnietralfunctionen. An sich sind in dem Ansatz 

 G(p, q) = o, z^ =^ H(p, q) drei verschiedene Möglichkeiten gegeben, 

 um eine nicht specielle Theorie für er = 4 zu gewinnen; man kann 

 T = 3 , 4 und 5 setzen. Hr. Wirtinger wählt dieijenige der di-ei Raum- 

 curven, die vom höchsten Geschlecht ist (r = 5), und weist darauf 

 hin, dass sie sogar zAvei wesentliche Parameter mehr enthält als noth- 

 wendig ist. Ich kann darin keinen Vorzug erkennen. Man gehe einen 

 Schritt zurück, zu er = 3. Dann sind die vier Werthe: ' = 1,2,3,4 

 zulässig. Aber nur die Annahme r = i liefert eine wirkliche Theorie 

 der allgemeinen AßEi/schen Functionen von drei Variabein; sie ist A'iel- 



' A'ergl. auch H. Jung, über die Perioden der reducirten Integrale erster Gattung 

 (Sitzungsber. 1904, 8. 1381). 



^ Der Ausdruck bezieht sich nur auf die für uns vorhandenen RiKJiANN'schen 

 Arbeiten. Ich weiss wohl, dass Riemann im Besitze einer uns verloren gegangenen 

 Tlieorie der allgemeinen ABEL'schen Functionen gewesen ist, wie aus seiner eigenen 

 Äusserung hervorgeht. 



