Scuottky: Zur Theorie der Syinuietralfiinclioiuui. 1085 



Wenn die n ganze Znhlen sind, so nennen wir das System (w, , w, • • • u)^) 

 eine Periode und das System n,,n^---n^ oder («) ihre (Charakteristik. 

 Wir stellen nun p unabhängige Veränderliclie tu, , w^ ■■■ w^ auf und 

 bilden die Summe: 



erstreckt über alle ganzen Perioden [w) und die zugehörigen Charak- 

 teristiken {ii). Diese Thetafunction des Gebietes G genügt der (ileichung: 



— i »a ("'n + i ««) 



ausserdem bleibt S-{«;) luigeändert, wenn man zu den Variabein irgend 

 welche Vielfache von iiri hinzufügt. 



Der Ausdruck lässt sicli in zwei Richtungen erweitern: einmal, 

 indem man nicht über alle ganzen Perioden (w) summirt, sondern über 

 alle, halben, die einer gegebenen halben Periode congruent sind, dann, 

 in(k'm man das System der Variabein lun eine halbe imaginäre Pe- 

 riode (^~l) vermehrt. Alle 4- Functionen, die man auf diese Weise 

 erhält, sind reell für rein imaginäre Werthe der 10. Aus ihnen lassen 

 sich Abel'scIic Functionen bilden, die den Gleiclmngen 



f{w -t- w) = /(//)) , f{w -t- 2 m-l) = f{w) 



genügen; zunächst in der Form: 



# oder . 



Wir können aber noch diejenigen hinzurechnen, die aus solchen Aus- 

 drücken sich rational mit reellen Goefficienten zusammensetzen. 



Die AiiEL'schen Functionen der Fläclie G sind reell für rein ima- 

 ginäre Werthe der w, aber auch, wie leiclit zu sehen ist, für solche 

 Werthe der 10, deren reelle Theile durch irgend eine halbe Periode (w) 

 gebildet werden. 



Führen wir ein: 



so sind dies mehrdeutige Functionen der complexen Grösse x = ^ + iY\, 

 die sich auf geschlossenen Wegen innerhalb G imr um Vielfache von 

 2-i ändern. Und zwar geht «'„(*) in io„{x)-\- 2ivl über, wenn x die 

 Linie L„ beschreibt; auf den übrigen Randlinien, abgeselien von L^, 

 kehrt io„{x) in sich selbst zurück. 



Die reellen Theile der Functionen ii}{x) sind gleich o auf i,,, und 

 sie bilden eine halbe Periode, wenn x auf eine der andern Randlinien 



