ScMoiiKv: Vaw riiciji'ic (Jt;r Syiniii(:tr;ill'iiiicli(Hi(;ii. I 087 



gesetzt. l);iiiii crliJilt, iruiii : 



oder: 



a=st 



Die ührif^on Tlieta lassen sich entspreciiend definiren, wie vorliiii, 

 und ebenso die Diflerenzen u„(x) — W;i(x). 



leli t^eJie jetzt zu dem Falh- über, wo die Figur ein Syinnietrai 

 ist. Zu jeder Randlinie L„ gehört alsdann eine symmetrisch liegende 

 /v, iii'd es ist L„= />„, a! =^ c/., wenn L„ zu den unpjiarigen Rand- 

 linien gehört. 



Aus der iJelinition von /'' geht liei'vor: Wenn die ^s -+- 1 Coeffi- 

 cienten «„, die der Gleichung i. {n„) = o genügen, ausserdem die Be- 

 dingungen n„. = ft„ befriedigen, so ist die Function F eine symmetri- 

 sche, die in .symmetrisch liegenden l'iiiikten gleiche Werthe annimmt, 

 und es ist daher auch w^ = c/;„ . Finden dagegen die Bedingungen 

 «„. = — ra„ statt, so ist F eine alternirende Function, und w„. := — w„. 

 Wii- unterscheiden dalier unter den reellen Perioden (w) symmetrische 

 und alternirende. (Jfl'enhar lässt sich jede ganze Periode in eine sym- 

 metrische und eine alternierende irall)f)eriode zerlegen, und dasselbe 

 gilt von jeder halben Periode, die einer symmetrischen halben con- 

 gruent ist. Endlich ist noch jede alternirende Ilalbperiode einer sym- 

 metrischen congruent. 



Genau dasselbe gilt von den imaginären P('rioden . Kine solche, ( 2 rmri), 

 ist .symnietri.sch, wenn m^.-=Tn,„, alternirend, wenn //'„■ = — rn^ ist. 



Dementsprechend lassen sich drei verschiedene Thetafunctionen 

 aulstellen. Wii- bezeichnen die Reihe 



mit W, wenn wir sie über alle ganzen Perioden erstrecken, mit (j> , 

 wenn wir sie über alle ganzen .symmetrischen, mit \1/ , wenn wir sie 

 über alle ganzen alternirenden Perioden (w) ausdehnen. Wir fügen 

 noch eine vierte hinzu, die wir ^ nennen, nämlich die Summe 



- — ^« 



die, ebenso wie bei v^, über alle ganzen alternirenden Perioden (w) 

 zu erstrecken ist. 



Von diesen vier Functionen ist das Riemann'scIic Theta des 



Symnietrals, (j> die eigentliclie Symmetralfunctlon, 3- das RiEMANN-'sche 

 Theta der Hälfte des Symmetrals, und 4^ geht aus 3- hervor, indem man 



