1088 Sitzung der pliysikaliscli-iiiatlieiiiatisclien Classe vom 19. November 1908. 



die Periodicitätsmodulii verdoppelt. liäiigt nur ab von den Dilferenzen 

 ■u„ — U;x, \^ nur von den Diflerenzen ?/„ — u„. , (p nur von den Summen 

 "« + w„. , und zwar, da i, «., = o ist, von den Differenzen dieser Summen. 

 Es ist dalier, wenn Avir die Anzahl der unj^aarigen Randlinien gleich 

 n, die der Paare gleich t, und « + t = trH-i setzen, eine Function 

 von p = (T-+-r, (p eine solche von (T, 4^ eine von r Veränderlichen. 



Dass man das Recht hat, 9- als RiEJiANN'sches Theta der Halb- 

 tläche zu bezeichnen, ist leicht zu sehen. Die Halbtläche wird be- 

 grenzt durch T paarige Randlinien L, , L-,- L, und ausserdem durch 

 eine Linie L„ , die im Falle « = o mit der Symmetrielinie identisch 

 ist, in den andern Fällen sich zusammensetzt aus Theilen der Symmetrie- 

 linie und Hälften uni)aariger Randlinien. Da hier 



n„. = —n„, w„. = — w„ 

 ist, so ist: 



T 



"V «a ("a + 4 "'.,) = ^ «« ("„ — «'„• + T^^a) • 



Es ist ferner: 



a = I 



Diese Function F ist aber, als alternirende, gleich o, nicht nur 

 airf den unpaarigen Randlinien, sondern auch auf den dazwischen 

 liegenden Stücken der Symmetrieaxe, also auf der ganzen Linie L^. 

 Daher geht, wemi Avir w„ — «/„,== tr„ setzen, S- über in die Function 

 der llalblläche, nach derjenigen Definition, die wir zuerst gegeben 

 hatten. 



Zu den Ader Thetafimctionen treten noch alle diejenigen hinzu, 

 die man erhält, indem man erstens zu den Variabein eine halbe ima- 

 ginäre Periode (^-i) hinzufügt, und zweitens die Summation erstreckt 

 über alle halben — oder alle halben symmetrischen, oder alle halben 

 alternirenden — Perioden, die einer gegebenen congruent sind. Es ist 

 aber leicht zu sehen, dass, wenn man hier für die S alle modulo 2 

 verschiedenen Zalüsysteme setzt, man eine und dieselbe Function 

 mehrfach erhält. 



Betrachtet man die zugeluu-igen Classen AßEL'scher Functionen, 

 so sieht man zunächst, dass sie alle ungeändert bleiben, Avenn man 

 die u um irgend welche Vielfache von 2Tri A^ermehrt. In Bezug auf 

 die reellen Perioden gilt Folgendes. Die Classe (</)) hat die symme- 

 trischen, (4/) die alternirenden, (S^) sogar die Hälften der alternirenden 

 Peiioden zu Perioden. Ausserdem bleiben die Functionen der Classe ((/>) 

 imgeändert, wenn man die Variabein um irgend eine alternirende Periode 

 vermehrt, und die der Classen (S-) , (%/-), wenn man zu den Variabein 



