Schoi-iky: Ziif Tlieorio der SYiiiinetralfunctionen. 1089 



eine symmetrisclie oder auch die Hälfte einer symmetrischen hinzu- 

 fügt; denn hierbei bleiben die auftretenden linearen Verbindungen der 

 Variabein ungeändert. Da sich nun jede ganze Periode (w) aus einer 

 halben symmetrischen und einer halben alternirenden Periode zu- 

 sannnensetzen lässt, so hat die Glasse (9-) alle Perioden der Classe (0); 

 die Functionen der Classe (&) gehören einfacli zu denen der ('lasse (0). 

 Führt man aucli hier Functionen von x ein durch die (Jleichuno:en 



so gehen durch die entsprechende Substitution, die wir einfach mit 

 u = n(x) bezeichnen, alle Functionen der vier ('lassen über in Func- 

 tionen von X, die in der Fläche des Symmetrals eindeutig sind. Aber 

 nur die der Classen (0) vuid (S-) sind reell auf allen Randlinien, die 

 der Classe (3^) ausserdem reell auf den dazwischen liegenden Theilen 

 der Symmetrieaxe. 



§7- 



Aus den charakteristischen Functionen der Halbtläche kann man 

 zwei auswählen, p und q, durch die sich alle andern rational aus- 

 drücken lassen, p und q sind durch eine algebraische Gleichung 

 G{p,(j)=zo vom Geschlechte r verbunden. Es sind dies zugleich 

 charakteristische Functionen des ganzen Synunetrals; sie nehmen gleiche 

 Werthe an in symmetrisch liegenden Punkten der Grenze. Zu beiden 

 kann man noch eine dritte charakteristische Function z des ganzen 

 Symmetrals hinzufügen, die auf der Symmetrieaxe rein imaginär ist; 

 sie nimmt entgegengesetzte reelle Wertln^ an in je zwei sich symme- 

 trisch entsprechenden Punkten der Grenze. Alsdann ist z'' eine reelle 

 rationale Function von p , q : z^ = H(p , (/), und durch z , p , q sind alle 

 charakteristischen Functionen des Synunetrals rational ausdrückbar. 



Betrachten wir jetzt die Function 



deren reellen Theil F auf jeder Randlinie constant ist, so folgt zunächst, 



dass , auf allen Randlinien des Symmetrals rein imaginär ist. 



Es ist 



riu(x) = -,j^ 1 — ,— nx . 



V 0!; övi j 



Beschränken wir die Veränderliche x auf einen innerhalb des Sym- 

 metrals liegenden Theil der Symmetrieaxe, die wir zur Abscissenlinie 

 nehmen wollen, und setzen dementsprechend dx =■ df. Ist F eine 



