1090 Sitzung der physilialiscli-iiiatlieinatischen Classe vom 19. November 1908. 



dF 



alternirende Function, also F{^, — >i) = — F{^, vi), so ist auch -^jr eine 

 alternirende, und somit gleich o auf der betrachteten Strecke. Es 



(Tfl 



ist daher auch auf der ganzen Linie L„: — rein imaginär. 



Ist dagegen F eine symmetrische Function, so ist auf der reellen 



dF du du 



Geraden -r^- sleich o. Folglich ist in diesem Falle --- reell, z—— rein 



3*1 » •-' dp dp 



imaginär auf dem betrachteten Abschnitt der Abscissenlinie. 

 Hieraus folgt, dass diejenigen Functionen 



bei denen «„. = — n„ ist, sich darstellen lassen in der Form 



l\R{p,q)dp, 



diejenigen dagegen, bei denen n„. = n„ ist, in der Form 



'R(p,q)dp 



'I 



In beiden FäUen bedeutet R{p ,q) eine reelle rationale Function 

 von p ,q. 



Liegt der Punkt .r = ? -f- i-Y\ auf der Linie L„. , so wollen wir 

 den zugehörigen Punkt ^ — ivi , der auf L„ liegt, mit .r„ bezeichnen. 

 jc und a;„ sind durch eine Gleichung verbunden — die Gleichung 

 der Cui've in den imaginären Coordinaten ^ + ivi und ^ — iri . Es ist 

 daher a:„ eine Function von x, die auch ausserhalb der Linie L„. ex- 

 istirt. (Im nächsten Paragraphen werden wir die Randlinien als Kreise 

 annehmen ; a-„ ist dann eine lineare, und p , q , z sind eindeutige Func- 

 tionen von .i). 



Jetzt genügen oflenbar p und q den Gleichungen /(*„) =/(a;) , 

 dagegen z den Gleichungen f{x^ = — f{x). 



Nehmen wir ferner in dem Ausdruck u(x) = "^ (ti^^iijx)) die n als 

 ganze Zahlen an, so ist u (a) darstellbar als Logarithmus einer in der 

 Fläche des Symmetrals eindeutigen Function E{x). Der reelle Theil 

 von u(x) ist 



F = ^\og{E(x)E{r/)), 



wo y den zu x conjugirten Werth, und E{y) den zu E{x) conjugirten 

 bedeutet. 



Nehmen wir x auf L„. an, so ist y ^ x„. Da zugleich i'"' =: + üj„. 

 ist, so erhalten wir: 



E{x)E{x^ = €■'"■. 



