Schottky: Zur Theorie der Synimetralfiinctionen. 1091 



Wir betrachten jetzt die beiden Fälle, wo F entweder eine alter- 

 nirende oder eine symmetrische GREEN'sche Function ist. Im erstem 

 ist F = o nicht nur auf den unpaarigen Randlinien, sondern auch 

 auf den dazwischen liegenden Stücken der reellen Linie, also für 

 y = X . Daraus folgt : 



E{x) E(x) = I 



EM EixJ = I , 



und da hier »„, =: — w„ ist : 



E{x„) = e''"E{x). 



Im zweiten Falle bleibt das Product E(x)E{i/) ungeändert, wenn man 

 X mit 1/ vertauscht. Es unterscheidet sich daher E{x) von E(x) nur 

 um einen constanten Factor. Da dies auch für- die reelle Linie gilt, 

 wo E{x) = E{y) der zu E(a-) conjugirte Werth ist, so muss der con- 

 stante Factor absolut genommen gleich i sein, und wir können ihn 

 direct gleich i setzen. Es ergiebt sich demnach in diesem Falle, da 

 hier w„. ^ w„ ist: 



E(a-)E(a;J = e"" . 



Nimmt man zu diesen Eigenschaften hinzu, dass logE(a;) sich auf der 

 Linie L„ um 2n„7rt ändert, so ist dadurch die Function E{x) in dem 

 einen wie in dem andern Falle bis auf einen constanten Factor be- 

 stimmt. Aber es sind, wenn man die Gdeichung i, (w„) = o hinzu- 

 fügt, damit zugleich die Factoren e"'", und, bis auf Vielfache von 27r/, 

 die Grössen a)„ bestimmt als Functionen der n, im symmetrischen wie 

 im alternirenden, also auch im allgemeinen Falle. Damit sind aber 

 die Periodicitätsmoduln der vier Classen von AßEL'schen Functionen 

 gegeben. 



§ 8. 



Wir nehmen jetzt die Randlinien als volle Kreise an. Es sei a„ 

 der Mittelpunkt, ?'„ der Radius des Kreises L„ — also r„. = r,, . Die 

 Gleichung der Linie L^, ist dann: 



(x — a„.)(i/ — a„) = rl. 



Folglich ist x„ als Function von x gegeben durch die Gleichung 



(x — a„.)(x„ — aj = rl. 



Hier können wir ohne weiteres davon absehen, dass r„ reell, und 

 dass a„ , o„. conjugirte Grössen sein sollen. Wir nehmen die Punkte 

 a„ beliebig an. Wenn alsdann ;i- beschränkt wird auf den Kreis 



