1092 Sitzung der pliysikaliscli-mathematisclien Classe vom 19. November 1908. 



\x — (7„. I = I ?•„ I , SO wird .r^ bescliränkt auf den Ivi-eis | .(■„ — a , | = 1 1\^ | ; 

 wir nehmen die Grössen /•„ so klein an, dass diese p ■+- 1 Ivi-eise nicht 

 übereinandergreifen. Die Figur ist jetzt nicht mehr symmetrisch: 

 ich nenne sie trot/.dem ein Symmetral, weil die Zuordnung der Rand- 

 punkte nach denselben Gesetzen, nur mit freier veränderlichen Co- 

 efiicienten, erfolgt wie bei dem eigentlichen Symmetral. Statt der 

 charakteristischen Functionen der Hälfte des Symmetrals haben wir 

 eine Classe automorpher Functionen, deren Fundamentalbereich das 

 definirte von p -+- 1 Kreisen begrenzte Gebiet ist. Diese sind rational 

 ausdi'ückbar durch zwei unter ihnen, p , q , die einer Gleichung r-ten 

 Ranges G(p,c]) = o genügen. Es tritt hinzu eine dritte Function 2', 

 die den Gleichungen f{xj = — f{x) genügt, mid deren Quadrat eine 

 i-ationale Function i/(jp , 9) ist. Wie die Function 7t'(.() , und wie die 

 Periodicitätsmoduln zu bestimmen sind, wurde bereits angegeben. Es 

 zeigt sich demnach — was sich allerdings vorhersehen liess — , dass 

 die Theorie, die wir erhalten, wenn wir die Parameter des eigent- 

 lichen Symmetrals imaginär werden lassen, durchaus keine andi-e ist 

 als die der reellen Synmu'tralfmictionen. Wir können die ursprüng- 

 lichen Annahmen ruhig beibehalten: wir wissen, dass alle aufge- 

 stellten Formeln unmittelbar Geltung behalten lür die imaginäi-en 

 Symmetralfunctionen. 



Wir können aber auch vollständig absehen von der Darstellung 

 der durch die Gleichungen (r = o , z' :=■ H verbundenen Grössen p, q, : 

 durch die Veränderliche x. 



Dem Innern des Symmetrals — das jetzt auch in dem erweiterten 

 Sinne genommen werden kaim — entspricht nicht das ganze Gebilde 

 (p,q,z), sondern ein zusammenhängender Theil desselben. Er wird 

 begrenzt durch --I-1 geschlossene Linien, deren Punkte einander zu- 

 georcbiet sind. Jedem Punkte (j), q , :) auf einer Linie entsjjricht 

 em Punkt (p, q, — c) auf derselben oder einer andern Linie. Unter 

 den p -+- 1 Linien sind n unpaarige und r Paare. Wir können diesen 

 Theil des Gebildes, da er dieselben Grundeigenschaften hat wie die 

 entsprechende Figur der x-Ebene, im übertragenen Sinne auch als 

 ein Symmetral bezeichnen. 



Man kann Aielleicht der Ansicht sein, dass diese Figur die ein- 

 fachste ist, und dass es ein Umweg war, sich p, q,z als Functionen 

 von X vorzustellen. Aber ich rinde, dass dui'ch die Figur des Sym- 

 metrals die Untersuchung der Bezielmngen zwischen den Perioden 

 der zum Körper (p, q , 2) gehörigen Integrale erster Gattung beson- 

 ders deutlich wird, und man kann sich bei der Aufstellung der For- 

 meln auf den reellen Fall beschränken, sie haben trotzdem weitere 

 Gültigkeit. 



