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Liescurrz: Untersuchungen über die Bestimmung von Oberflächen. 171 
von der verlangten Beschaffenheit vorliegen, deren eines durch einen 
oben hinzugefügten Strich ausgezeichnet werde, so folgt durch doppelte 
Anwendung der eben erwähnten Gleichung, dass die Relation 
(10) (AdE+Bdn+ Cd)” +(A,d+B,dy-+C, a 
—(A,dE + B,dn + Ode” + (A,dE + B,dn + 0, de) 
für unabhängige Differentiale dZ, da, d< erfüllt sein muss. Daher wird 
das allgemeinste By stem A,. B,, C,, A,, B,, C, aus einem besonderen 
System MER O. A,, B,, C, abgeleitet, indem man die allgemeinste 
Transformation einer Summe von zwei Quadraten in sieh selbst zu 
Hülfe nimmt. Diese 'T'hatsache ist in II für einen beliebigen Werth 
der Zahl n hervorgehoben. Auf die algebraischen Eigenschaften der 
Summen von zwei Quadraten gründet sich die Einführung der imaginären 
Einheit = Y-ı. Indem nun die linke und rechte Seite von (10) 
mit Zuziehung dieser Einheit in complexe Faetoren zerlegt wird, 
folgt durch bekannte Schlüsse entweder die mit der reellen Grösse o 
gebildete Gleichung 
(11) A,d& + Badn + Ode + i(A,dE + B,dn + C,d£) 
— ei (A,dE + Bdn + Cd& + i(A,dE + B.du + C.d£)), 
oder die mit der reellen Grösse r gebildete Gleichung 
(mit) AdE+ Bdn + Cd — it A,d& + B,dn + C,d£) 
— ei (A.dE + Bdn + Ode + ill A,dE + B,dn + C.dd)). 
Substituirt man für A, B. 0. A, B,. (©, die in (8) auf der rechten 
Seite angegebenen besonderen Werthe, so entstehen aus (11) die 
Bestimmungen 
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A, + iA, = e"| —— + —— 
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dagegen aus (11°) die folgenden 
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(122) (B, — Mel (3 sn 
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Wenn aber jede der drei letzten Gleichungen auf beiden Seiten mit 2 
multiplieirt und 7 = o — — genommen wird, so gehen die linken 
2 
