Lipscarrz: Untersuchungen über die Bestimmung von Oberflächen. 185 
gleich‘ der Einheit ist. Insofern die gegebene Linie in keinem end- 
de dy de 
lichen Theile gerade ist, haben die Funetionen bestimmte 
ds dsa7 ds 
mit s veränderliche Werthe, und es dient die Gleichung (13), um s 
als Function der Variabeln $ und $ zu bestimmen. Das nothwendige 
Verschwinden des vollständigen Differentials der linken Seite von (13) 
liefert die Gleichung 
dr u LE N den ah: 
(16) d(eos$)+ — d(sinScos®) + d-(sin S sin &) 
ds ds 
er EN, DRZER 4 
+ | c0s$ + —sinS$ cos® + ——sin$sing | ds = o, 
ds? ds? ds? 
wo der Factor von ds für keinen endliehen Theil der Linie gleich 
Null ist. Durch (15) geht die Gleichung (12) in die folgende über 
IN EAN ee N LI RR 
(Kan ds==u vs d(cosS) + Fr d(sin$ cos d) + er d (sin $ sin ) |; 
S (dS dS 
(IS 
die Ubereinstimmung von (16) und (17) wird aber hergestellt, indem 
man für r die Gleichung 
I d’x d’y d’z 
18) — — COS — sin$ cos db — — 
( r ds? ds? ? ds? 
aufstell. Hiermit ist in der That gezeigt, dass für jede krumme 
Linie die Gleichungen (7) angewendet werden dürfen. 
Weil in der Gleiehung (8) die Integrabilitätsbedingungen der 
sinS$ sind 
rechten Seiten von (7) zusammengefasst sind, und weil die Bestimmung 
von r und o durch (13), (15), (18) immer möglich ist, so stellen 
diese Gleichungen eine vollständige Auflösung der Gleichung 
(8) dar. 
Nach (13) sind cos $, sin $ cos d, sinS$ sin ® beziehungsweise 
die Cosinus der Neigungswinkel, welche irgend eine im Punkte 
(x, y, 2) gegen die gegebene Linie gezogene Normale mit den drei 
Axen bildet. Alle diese Normalen liegen in derselben Ebene und 
werden auf der Gauss’schen Kugel durch die Punkte desselben grössten 
Kreises vertreten. Auf diese Weise entspricht jedem Punkte der ge- 
gebenen Linie ein grösster Kreis auf der Gauss’schen Kugel, und da 
kein endlicher Theil der Linie gerade sein darf, so entspricht einem 
endlichen Theile der Linie wieder ein endlicher Theil der Kugel. 
Y. . . . . ae Ne I . 
Wie leicht zu sehen, ist die in (18) definirte Grösse — gleich dem 
” 
Product des reeiproken Krümmungsradius der gegebenen Linie in den 
Cosinus des Winkels, welchen die durch $ und & charakterisirte Nor- 
male mit der von dem Krümmungsmittelpunkt aus gezogenen Normale 
bildet. Dies ist also der geometrische Begriff, welcher in Verbindung 
