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Zur Theorie der elliptischen Funetionen. 
Von K. WeEIERSTRASsS. 
Un die elliptischen Functionen 
sin am (w,k), cosam (u, k), Aam (uw, k) 
durch die Jacogr’schen Funetionen 
S(a,qQ) = ı — 2g cos 2% + 2g* cos 4x — 29° c0s6rc +... 
2 = 
S,(@,9)=2YVg-(inz— YPsinz3e+ gPsinse—...) 
Salt) 2 Votes +gQ cos3x + gPcos6c +...) 
Ss; (&,Q)=1ı+ 29c0s 2% +2gcos42 +29 cos6c +. 
auszudrücken, hat man die Aufgabe zu lösen, für jeden gegebenen 
Werth von % einen die Gleichung 
— _%(0,9) 4 1 ++ +g”+... 
: k=o- — — 2yg- 
u, v 3,(0,9) v4 ı+29 +2 +2 +... 
befriedigenden Werth von g zu bestimmen. Ist ein solcher Werth 
gefunden, so hat man, wenn 
2K 2 Um 
(2.) 7 50923 ,% 
gesetzt wird, 
. .H@,g 
Vk -sın am (u 3 k) = I@,g) 
k S 
Bee 
(3.) VI PR S>(@,q) 
I (X, q) 
- Aa ‚=. 
am (u , k) SieH9) 
FEAR GE 
\ Um 72 
A ie 
Dabei kann der Werth einer der beiden Wurzelgrössen Vk, vg beliebig 
fixirt werden, worauf dann der Werth der anderen durch die Gleichung (1.) 
! Dureh diese Abhandlung soll eine Lücke ausgefüllt werden, welche sich in 
der Jacogr’schen »Theorie der elliptischen Functionen aus den Eigenschaften der Theta- 
reihen abgeleitet« (Gesammelte Werke, Band I, S. 497 ff.) findet, und auf die ich in 
einer Anmerkung auf S. 545 a. a. O. aufmerksam gemacht habe. Es sind deshalb hier 
durchgehends die Jacogr’schen Bezeichnungen von mir angewandt worden. 
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