266 Sitzung der physikalisch- mathematischen Olasse vom 22. Febrnar. 
Die Reihe auf der rechten Seite dieser Gleiehung ist aber für 
jeden (reellen oder complexen) Werth der Grösse ? eonvergent und 
stellt eine analytische Function derselben dar. wenn man von den 
vier Werthen. die man für jeden bestimmten Werth von 7 der 
1 
Potenz (1 — f)! beilegen kann, einen so. wie folgt. fixirt. 
Schliesst man von dem Gebiete einer unbeschränkt veränderlichen 
Grösse « die negativen reellen Werthe derselben. sowie auch die 
Stellen 0. © aus. so giebt es unter den unendlich vielen Werthen, die 
der natürliche Logarithmus von x für einen bestimmten Werth dieser 
Grösse annehmen kann. immer einen, dessen zweite Coordinate zwischen 
-z und + 
liegt. Dieser Werth des Logarithmus soll im Folgenden überall unter 
log x verstanden werden: er ist innerhalb des definirten Bereichs der 
Veränderlichen « eine eindeutige analytische Function derselben, indem 
sich. wenn «a irgend eine bestimmte Stelle des Bereichs ist, eine 
Umgebung (derselben angeben lässt. innerhalb weleher die Reihe 
62 N NN 
(3.) ler +8 ( SE ) 
—ı m 
n=]I 
einen solchen Werth des nat. Logarithmus von . darstellt. dessen 
zweite Coordinate gleich der von log a’ zwischen ” und 7 liegt. 
Daraus ergiebt sich insbesondere. dass 
(4.) log x = = 
(x 
in 
io) 
n—1 
ist, wenn man die Grösse x auf den dureh die Bedingung 
le-—- ı|<ı 
definirten Bereich beschränkt. Denn innerhalb dieses Bereichs sind die ein- 
ander gleich gesetzten Ausdrücke beide eindeutige analytische Funetionen 
von .; die Gleichung gilt daher für den ganzen Bereich, da sie nach dem 
eben Bemerkten für eine gewisse Umgebung der Stelle ı besteht. 
Wenn ferner .w, eine bestimmte negative Grösse ist, so ist für 
die einer gewissen Umgebung der Stelle .r, angehörigen Werthe von 
o 
x die zweite Coordinate der Grösse 
> I (’ — a 
n—1I m \ X, 
negativ oder positiv. je nachdem die zweite Coordinate von @ x, positiv 
oder negativ ist: man hat daher im ersten Falle 
e.) R „ 
! SWL 
(5.) log x = leg (- a) + ri + > SR 
: SEHEN Vidhe, 
im zweiten dagegen 
4 a 
(6.) log x = log (-- &,) — ri + >» | =). 
a 
