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Weıerstrass: Zur Theorie der elliptischen Funetionen: Sa 
so sind f(u,g) .f, (u:9) JS; (u.g) eindeutige Funetionen der "Grössen u 
und g. und es bestehen für dieselben, wenn man "u wh wenslan 
Bl SHkor Sn 
= Ne’ 
.\2,(0.9) 
setzt, die folgenden Gleichungen: 
ou, of, (u.g) 
Ares — (U) 9)% a —= — f(u,g)f.(u,g); 
Mor gi 0), 7,0, Q)) AU ee — 
Beschränkt man die Veränderliche «x auf eine gewisse Umgebung 
har 
n = N_ 
der Stelle o, so können f(u.gq) . fi (u.9) . fs (u.g) in der Form gewöhn- 
licher Potenzreihen dargestellt werden. Die Ooeffteienten «dieser Reihen 
ergeben sich aus den Gleichungen (7.), und zwar als ganze rationale 
Funetionen der Grösse f. in denen die Öoeffieienten rationale Zahlen sind. 
Wenn es daher zwei Grössen 9,9, giebt, zu denen derselbe Werth 
von { gehört, so nn man 2 fu.g,).f (u.g9) »f. (u ,q,) dieselben 
Reihen wie für f(uw,g).f, (u.g)-f,(w.g). woraus sich in bekannter 
Weise folgern lässt. a & jeden endliehen Werth von u die 
Gleichungen 
a IE = Tetll.gn). 
gelten. 
Nun wird nach dem Vorhergehenden 
[ fiu,g)= 0 füru = (vr — vilogg)S Sa ‚(0 ,9) 
et o für u = ((u + —) a vw a 9): ‚(o,g) 
2 I — ofüru = (ur -(v+ —) log q) S: (0,9) 
| Ag) our, — (m = -(v+- ")ilog« (or 
\ q 7 Sl 
wenn unter 2, v beliebig m. ganze Zahlen ver ER werden. 
Zugleich gilt, dass jede der vorstehenden vier Funetionen nur für die 
angegebenen Werthe von x verschwindet. 
In Folge der Gleichungen f, (u,g) = f(w,g), Ffu,Q= BE g,) 
wird nun | 
fı(w,g)=o auch für u — 
a 
2.05 g,) 
und 
I D > 
—— — 0 auch füru = — —-S, (0,9) log q;; 
fw,g 25 
es müssen sich also vier ganze Zahlen «, 8,y,d so bestimmen 
lassen, dass 
\ ”S; (0, ME ((2# + ı)# — 2Bilog g) 
+ (2yr — (28 + ı)ölogg) 
(10.) 
mi (0.9,) log q, = — (0), 
Fu fu,g) 
