542 Sitzung der phys.-math. Classe v. 10. Mai. — Mittheilung v. 19. April. 
dieselben integrirt sind, noch die Aufgabe übrig bleibe, die endlichen 
Gleichungen der gesuchten Oberflächen aufzustellen, dass aber ınit der 
Bestimmung eines Systems von Funetionen H,, T, H das eigentliche 
Problem als gelöst gelten dürfe, weil man die analytische und geo- 
metrische Definition einer Oberfläche oder einer Reihe von Oberflächen 
habe, die auf die gegebene Oberfläche ausgebreitet werden können. 
Vornehmlich betont er aber, dass das Wesen seiner Methode darin 
bestehe, die vorhandenen Schwierigkeiten in Gruppen zu ordnen, die 
nach einander in Angriff genommen werden. 
Nach Bovr haben sich verschiedene Forscher damit beschäftigt, 
die erwähnten fundamentalen Gleichungen für eine beliebige Gestalt 
des Ausdrucks des Linearelements darzustellen. Nun existirt für die 
von Bour gestellte Aufgabe ein wesentlicher Unterschied zwischen dem 
Falle, in welchem das zu dem Ausdruck des Linearelements gehörende 
Krümmungsmaass nicht verschwindet, und demjenigen, in welchem es 
durchgehends verschwindet. In dem ersten Falle kann man die Unter- 
suchung für eine beliebige Gestalt des Ausdrucks des Linearelements 
durchführen, indem man mit den in den vorhergehenden Mittheilungen 
enthaltenen allgemeinen Resultaten eine angemessene Transformation 
vornimmt, und gewinnt dadurch eine deutliche Einsicht in die Reihe 
nach einander folgender Schritte, welche erforderlich sind, um auf 
dem eingeschlagenen Wege bis zu einer vollständigen Darstellung der 
reehtwinkligen Coordinaten der Punkte der gesuchten Oberfläche zu 
gelangen. In dem zweiten Falle, in dem das Krümmungsmaass gleich 
Null ist, hängt alles von dem Nachweise ab, dass das gegebene Linear- 
element auf eine Ebene bezogen werden kann. Diese Beziehung lässt 
sich aber mit alleiniger Hülfe der Integration von exacten Differentialen 
darstellen. 
I: 
Es mögen die rechtwinkligen Coordinaten x,y.2 des Punktes 
einer nicht abwickelbaren Fläche als Functionen der unabhängigen 
Variabeln p und 9 betrachtet werden, das Quadrat des bezüglichen 
Linearelements habe den Ausdruck Edp’ + 2Fdpdg + Gdg’, bei dem 
nach der getroffenen Voraussetzung das Krümmungsmaass nieht gleich 
Null sein darf. Hier sind die Polareoordinaten $ und & des dem 
Punkte (p,g) zugeordneten Punktes der Gaussischen Kugel bestimmte 
Funetionen von p und q9. Nun finden sich in IH der zweiten Mit- 
theilung die Differentiale de,dy,dz durch die Differentiale dS$ und do 
so ausgedrückt,. dass die Coeffiecienten aus drei mit den Haupt- 
