Lirseritz: Untersuchungen über die Bestimmung von Oberflächen. 543 
krümmungsradien p, und p, und dem Stellungswinkel o gebildeten 
Verbindungen linear und homogen zusammengesetzt werden; gleieh- 
zeitig umfasst die dortige Gleichung (26) die nothwendigen und hin- 
reichenden Bedingungen dafür, dass die betreffenden Ausdrücke voll- 
ständige Differentiale sind. Wenn man daher sowohl in den für de, 
dy,dz angegebenen Ausdrücken wie auch in der genannten Gleichung 
(26), I statt $ und & die Variabeln p und g einführt, so enthält 
die aus der Transformation entstehende Gleichung ebenfalls die noth- 
wendigen und hinreichenden Bedingungen der Integrabilität für die 
transformirten Ausdrücke von dx,dy,dz. Die Abhängigkeit der Polar- 
coordinaten $ und & von den Variabeln p und g muss aber so be- 
schaffen sein, dass der in (16), II aufgestellte Ausdruck des Quadrats 
des Linearelements in den mit den Differentialen dp und dgq gebildeten 
Ausdruck übergeht, oder dass die Gleichung 
(1) p(cosedS$ — sine sin Sdp)’ + p5(sin odS + cosc sin Sdp)’ = Edp’+ 2 Fdpdg + Gdg? 
erfüllt ist. Denkt man sich umgekehrt diesen Ausdruck, dessen 
Krümmungsmaass nicht verschwinden soll, gegeben, und fragt nach 
der Bestimmung der rechtwinkligen Coordinaten x,y,z als Funetionen 
von p und q, so hat man die Aufgabe Bour’s auf ein Transformations- 
problem zurückgeführt, das jetzt zu erörtern ist. 
Wenn die linke und rechte Seite von (1) in je zwei complexe 
eonjugirte, nach den vorkommenden Differentialen lineare Faetoren 
zerlegt werden, so ist vermöge eines bekannten und in der zweiten 
Mittheilung benutzten Prineips der erste Factor der linken Seite gleich 
dem mit einer Exponentialfunetion von rein imaginärem Argument 
multiplieirten ersten oder zweiten Factor der rechten Seite. Auch 
hier reicht es wieder aus, von den beiden möglichen Fällen nur den 
einen vorauszusetzen, da der andere durch eine Vertauschung der 
Radien 5, und 7, auf den ersten zurückgeführt werden kann. Die 
beiden eomplexen Factoren der linken Seite von (1) sind in (28), Il 
angegeben; um die complexen Factoren der rechten Seite zu bilden, 
werde die Determinante EG — F?= A gesetzt. Dann erhält man aus 
(1) unter Anwendung einer reellen Grösse Y die Gleichung 
—is— iv Edp + Fdg sh iVAdgq 
VE 
Mit Hülfe derselben ergiebt sich sogleich die Umformung für den in 
(1). II aufgestellten Ausdruck, des reciproken Krümmungsradius eines 
Normalschnitts der Fläche 
(2) Au, (dS +isinSde) + Sb e ""(dS — isin Sde)—= e 
(a) E& dz de + dudy + dddz 
. Po ddp rhdr ” 
