Liescarrz: Untersuchungen über die Bestimmung von Oberflächen. 553 
gelten. Substituirt man die erwähnten Ausdrücke von L+ iM und 
L’+iM’, so hebt sieh in der zweiten Gleichung der reelle Theil fort 
und man erhält die beiden Gleichungen 
h \ e”(d$ +isin Sdp) = e” (dS + isin Ydp) 
(4 ! ds — eosItdp — do! — cosY dp. 
In den von dem Factor e” befreiten Gle ichungen (2) werde ich links 
die in (18), III der zweiten Mittheilung definirten Verbindungen 
A,+iA,,B,+iB,,C,+iC, einführen, ferner die aus #,%,% ent- 
sprechend gebildeten Ausdrücke durch die gleichnamigen Buchstaben 
mit hinzugefügten Accenten bezeichnen. Dann entstehen die Glei- 
chungen 
(A, +iA,) + c,(B, + iB,) + c,,(C, + iC,) = AA + iA, 
) Cs (Ar + EA,) + c„(B, + iB,) + e,„,(C, + iC.) = B, + iB, 
C„(A, +iA,)+ c.(B, +iB,) + ec: +4C)=ıCÜ +46, 
aus denen die atchungen 
ME ee 
(6) Etat oh 
ee =t- (359 Air 0% — a 
folgen. In der Relation (14). II der zweiten Mittheilung 
(7) AdE+B,dn+ C,de +i(A,dE + B,dn + C,de) = e” (d$ + isin Sdo) 
hat aber die linke Seite die Eigenschaft, ungeändert zu bleiben, wenn 
— 
un 
— 
statt der eingehenden Grössen die unter Benutzung von (5) und (6) 
erzeugten mit Accenten versehenen Grössen gesetzt werden, und das 
gleiche gilt von der linken Seite der Relation 
(8) A,dA, + B,dB, + (,dC, = ds — cosIdp, 
welche man leicht aus (24). IV der zweiten Mittheilung ableitet. Wenn 
daher die Gleichungen (7) und (8) auch auf die mit Accenten ver- 
sehenen Grössen angewendet werden, so folgt, dass die auf der 
rechten As befindlichen Ausdrücke ebenfalls ungeändert bleiben, 
sobald ©,S,& respective durch 7,S,® ersetzt werden, und damit 
sind die Gleichungen (4) aus den Gleichungen (2) dedueirt, wie ver- 
langt worden war. 
Es lässt sich aber auch der Nachweis führen, dass bei einem 
bestimmten System von Funetionen H,.T,H und einem zugehörigen 
System von Funetionen Z,M.,® jedes andere dem ersten zugehörige 
System von Funetionen Z”,M”,®’ in dem System der Ausdrücke (2) 
enthalten ist. Für je zwei Systeme der bezeichneten Funetionen L,M,® 
und 2” \ M”, ®, sind nothwendig die Gleichungen 
\ e(dS + isin$de) = e” (dY’ + isin$dp”) 
(9) ! de — cosId$ — do" — eosIde” 
