Lirscarrz: Untersuchungen über die Bestimmung von Oberflächen. 555 
II. 
Bei einem Ausdruck des Quadrats des Linearelements 
Edp’ + 2 Fdpdg + Gdg’, 
für welehen das Krümmungsmaass überall verschwindet, hängt die 
Aufsuchung aller Flächen, die diesem Linearelement entsprechen, von 
der Aufsuchung der Ebene ab, welche unter diesen Flächen enthalten 
ist. Die rechtwinkligen Coordinaten « und y eines Punktes der Ebene 
müssen aber solche Functionen von p und g sein, welche die Gleichung 
(1) dx? + dy? = Edp’ + 2 Fdpdg + Gdg? 
erfüllen. Dass das durchgängige Verschwinden des Krümmungsmaasses 
für die Möglichkeit dieser Gleichung nothwendig sei, ist durch Gauss 
bekannt. In dem Aufsatze: Sur un theoreme de Mr. Gauss eoncernant 
le produit des deux rayons de courbure prineipaux en chaque point 
d’une surface, Journal de mathematiques, t. XII, p. 291, hat J. Liovvinre 
den Beweis des umgekehrten Satzes unternommen, dass dieselbe Be- 
dingung auch hinreichend sei. Beide Sätze sind in dem Resultate 
eingeschlossen, das ich in dem Aufsatze: Untersuchungen in Betreff 
der ganzen homogenen Functionen von n Differentialen, BorcHArpT’s 
Journal f. Math., Bd. 70, S. 7ı begründet habe, nach welchem bei 
Jeder quadratischen Form von beliebig vielen Differentialen das identische 
Verschwinden einer gewissen derselben zugeordneten quadrilinearen 
Form die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür ausmacht, 
dass die quadratische Form in eine Form mit constanten Üoeffieienten 
transformirt werden könne. Soviel ich weiss, ist aber bisher nicht be- 
merkt worden, dass zu der wirklichen Darstellung von zwei Functionen 
x und y, welche der obigen Gleichung (1) genügen, nur die Integration 
von vollständigen Differentialen erfordert wird. 
Zerlegt man die linke und rechte Seite von (1) in complexe 
conjugirte nach den Differentialen lineare Faetoren, gebraucht rechts 
die Bezeichnungen aus (27), I, und führt eine reelle Grösse u ein, so 
gilt nothwendig eine der beiden Gleichungen, die aus 
(2) de + eidy = e* (VEdp E VGe*dg) 
durch die Annahme e = ı oder e—= — ı entstehen. Insofern die 
linke Seite in beiden Fällen ein vollständiges Differential ist, muss 
für die rechte Seite die Bedingung der Integrabilität erfüllt sein, 
welche die Gleichung 
Sitzungsberichte 1883, 49 
