558 Sitzung der phys.-math. Classe v. 10. Mai. — Mittheilung v. 19. April. 
vorausgesetzt wird. Alsdann erfüllen die zwischen den Differentialen 
bestehenden Gleichungen 
\ C1dc + 0, dy-+ c,de — de’ 
(4) C, de +.c,dy+ Er dz = dy 
E Ca; dv —- (35 dıy + (33 de. — dz' 
nach der Voraussetzung die Gleichung (3), und es bleibt zu zeigen, 
dass die Coeffieienten €, , €, ;.. . constant sein müssen. Ist dieser Satz 
festgestellt, so erhält man aus (4) durch Integration ein System von 
Gleichungen, aus welchem sich die ursprüngliche Behauptung sofort 
ergiebt. Der zuletzt erwähnte Satz lässt sich geometrisch so aus- 
drücken, dass, wenn zwei Räume so aufeinander bezogen sind, dass 
für die kleinsten Theile Congruenz oder symmetrische Congruenz statt- 
findet, der zweite Raum durch Verschiebung und Drehung, und 
eventuell durch Abbildung mittelst eines ebenen Spiegels mit dem 
ersten Raume zur vollständigen Congruenz gebracht werden kann. 
In der am Schlusse des vorigen Artikels ausgesprochenen Bemerkung 
ist die correspondirende Eigenschaft der Ebene, in der zu beweisenden 
Behauptung aus Artikel III die entsprechende Eigenschaft der Kugel- 
fläche enthalten. Meines Erachtens werden durch die drei betreffenden 
Sätze Grundeigenschaften unserer Vorstellungen von der Ebene, von 
der Kugelfläche und vom Raume bezeichnet; denn es verursacht grosse 
Schwierigkeit, die bezüglichen Eigenschaften aus der Vorstellung der 
Ebene, der Kugelfläche und des Raumes wegzulassen. Dass die Sätze 
eines Beweises bedürfen, darüber gestattet ihre analytische Formulirung 
keinen Zweifel. Der Beweis, den ich jetzt mittheilen werde, lässt sich 
für die Quadratsumme von beliebig vielen Differentialen in ganz der- 
selben Weise führen, als wenn die Zahl der Differentiale bis drei geht. 
Es möge daher die Zahl der Variabeln, wie in der ersten Mit- 
theilung, gleich » genommen werden, und man betrachte ein System 
von n Functionen x/, «, ... x, der n Variabeln w,, &,, ...x 
der einen Gleichung 
welches 
n» 
(5) de? + de +.. au de? = de? + da? +...+ de 
genügt. Aus derselben folgen für die Coeffieienten der zwischen den 
Differentialen vorhandenen Gleichungen 
(e,,da,;, + 0,.d%, + ..+ 0,.da, = da, 
6,00, 2.3, d, — de, 
(6) RR 0" NE an 
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Cd 0, dee. 0 dan di; 
