Schüttky: Über Beziehungen zwischen ebenen Fläclien. II. 119 



Über Beziehungen zwischen veränderlichen Grrössen, 

 die auf gegebene Gebiete beschränkt sind. 



Von F. SCHOTTKY. 



Zweite Mittheilunff. 



§ 3- 



LJm die Art der Transformationen genauer festzustellen, die y er- 

 fährt, wenn x einen Grenzpunkt oder eine Grenzlinie von A umkreist, 

 nehmen wir an, dass die einzelnen Grenzlinien reguläre analytische 

 Curvenzüge sind, z. B. vollst.ändige Kreise oder Ellipsen. Darin liegt 

 keine wesentliche Beschränkung, da man durch conforme Abbildung 

 der Fläche immer erreichen kann, dass die Randlinien reguläre 

 Curven werden. 



Wesentlicher ist folgendes. Wir fordern von der aufzustellenden 

 Beziehung {x , y) , dass y nicht nur im Innern , sondern auch an den 

 Randlinien von A eine reguläre Function von x ist, dass ferner in 

 der Nähe jedes Grenzpunktes entweder y selbst, oder eine reelle 

 lineare Function von y, sich darstellen lässt in der Form — i\og{E), 

 wobei E eine Function von .*: bedeutet, die an der betrachteten 

 Grenzstelle regulär ist und in ihr von der ersten Ordnung verschwindet. 

 In den durchgeführten Specialfällen sind diese Annahmen erfüllt. 

 Die Frage, ob und in welcher Weise sie sicli als nothwendige Folge 

 der alten Voraussetzungen herausstellen, kann übergangen werden. 



Aus der zweiten Annahme folgt, dass bei der Umkreisung des 

 Grenzpunktes a jeder Zweig von y eine lineare Transformation erfahrt, 

 deren sich selbst entsprechende Punkte zusammenfallen. Es ist also 

 nur ein Werth, dem ein Zweig von y zustrebt, wenn man x den 

 Punkt a unendlich oft umkreisen lässt, im positiven oder im negativen 

 Sinne. Es ist dies zugleich der reelle Werth, den y im Punkte n hat; 

 denn log {E) wird sowohl dadurch unendlich, dass man x unendlich 

 oft den Punkt a umkreisen lässt, als auch dadurch, dass x sich dem 

 Punkte a nähert. 



