120 Gesamiiitsitzung vom 30. Januar 1908. 



Definirt man ferner eine Grösse p durch die Gleichungen 



dy I d'' u 

 ax u dx 



so ist p eine im Innern und an der Grenze von A eindeutige 

 reguläre Function von x. Sie verschwindet für .c = oo, falls dieser 

 Punkt nicht zu den Grenzpunkten gehört, von der vierten Ordnung. 

 Unendlich wird sie nur in den Grenzpunkten , und zwar von der 

 zweiten Ordnung; das Product (c — af pi hat den Werth •;^ für .r = o. 



In dem besonderen Fall, wo nur Grenzpunkte vorhanden sind 

 und keine Grenzlinien, ist demnach p eine rationale Function von x. 

 Bestimmt man, den obigen Angaben entsprechend, den Ausdruck 

 von p, so entliält derselbe, abgesehen von den Werthen a, noch 

 eine Reihe a^ou Coefficicnten, die zunächst willkürlicli sind; sie sind 

 natürlich so zu bestimmen, dass die linearen Transformationen, die 

 y erfahrt, wenn x die singulären Punkte umkreist, reell werden. 



Da y in der ganzen a'-Ebene, abgesehen von den singulären 

 Punkten, nur Werthe annimmt, deren zweite Coordinate positiv ist, 

 so ist die eindeutige Function x = ^-f?/) nicht über die Grenze der 

 positiven Halbebene fortsetzbar. 



Wir lassen jetzt diesen speciellen Fall beiseite. Der Voraus- 

 setzung nach ist y an den Randlinien regulär, also fortsetzbar über 

 die Grenze von A hinaus. Es nimmt ?uisserdem y an den Randlinien 

 nur reelle Werthe an. Denn denken wir uns von einem Punkte x^ 

 im Innern von A , beliebig nahe einer Randlinie , eine kleine Strecke 

 x^x^ gezogen, die durch die Grenze hindurchgeht, so muss auch die 

 entsprechende Linie y^y, durch die Grenze von B hindurchgehn ; an- 

 dernfalls würde der inneren Linie y^y^ eine Linie x^x^ entsprechen, 

 die das Innere von A verlässt, was unmöglich ist. 



Es sei y„ der reelle Werth , den ein Zweig von y in dem Punkte 

 «o einer Randlinie annimmt. Dann kann y — y^ im Punkte x„ nur 

 von der ersten Ordnung verschwinden, denn sonst würde y nicht 

 nur auf der Randlinie reell sein, sondern auch auf bestimmten von 

 x^ aus in das Innere von A führenden Linien. Dies ist unmöglich. 

 Hieraus folgt , dass die Function -^ (y) in dem Punkte y„ der Grenze 

 von B regulär ist. Ist andererseits y„ ein Punkt auf der Grenze 

 von B, in dem sich \t(?/) regulär verhält, dann muss der entsprechende 

 Punkt x„ = •4'(?/o) auf einer Randlinie von A liegen, und es ist zu- 

 gleich ein Zweig von y definirt, der im Punkte x„ den Werth y„ hat. 



Denken wir inis nun , dass der Punkt x A'^on ;):„ aus die Randlinie 

 beliebig oft durchläuft, in dem Sinne, dass das Innere von A zur Linken 

 bleibt. Dann muss , da innerhalb A die zweite Coordinate von y positiv 



