Schottky: Über Beziehunp;en zwischen ebeuen Flächen. II. 121 



ist, auf der Randlinie sicli y beständig im positiven Sinne ändern. Es 

 ist nicht ausgeschlossen, dass y an einer Stelle unendlicli wird. Dann 

 geht y beim Durchgange durch diese Stelle von -\-qg zu — oo über. 

 Aber es ist nicht möglich, dass y die ganze reelle Linie durchläuft, 

 wenigstens dann nicht, wenn mehr als eine Randlinie vorhanden ist, 

 denn sonst würden für die übrigen Randlinien keine Werthe übrig 

 bleiben. Demnach wird, wenn wir ;r auf eine Randlinie von A be- 

 schränken, y beschränkt auf eine begrenzte Strecke der reellen Tänie. 

 Die Endpunkte >i,>]" werden nie erreicht; sie würden unendlich oft 

 wiederholten Umläufen im positiven oder negativen Sinne entsprechen 

 und sind nxir als Grenzwerthe zu betrachten. Beachtet man, dass 

 auf diese Weise jeder Zweig von y längs jeder Randlinie verfolgt 

 werden kann, so erhält man auf der reellen Linie der ?/- Ebene un- 

 endlich viele sich nicht deckende Strecken; innerhalb jeder Strecke 

 ist die Function \|/(y) regulär; die Endpunkte aber sind singulär. 

 Natürlich sind zu den singulären auch die Häufungsstellen der End- 

 punkte zu rechnen. 



Es gehe y bei einmaligem Umgange um eine Randlinie in % [y), 

 bei ?2 maligem in X-iC^^) über. Die (Irenze von %„(«/) ist dann >i für 

 ?i = + oo, -/)' für « = — oo; r^ und •/{ sind demnach die sich selbst 

 entsprechenden Punkte der Transformation _y' = %(?/), und diese Trans- 

 formation kann so dargestellt werden: 



y' — ^ _ ^ y — Y, 



y' — Yi' y — Y\' 



Hierbei ist q eine positive Grösse, denn y und y' liegen zwischen 

 den reellen Werthen »i , v\, wenn x auf die Randlinie beschränkt wird. 



Die Function x ^ -^ (y) ist in der positiven Halbebene regulär 

 und eindeutig; sie lässt sich, durch die definirten Strecken hindui-ch, 

 in die negative fortsetzen. In der letzteren ist aber -^{y) nicht ein- 

 deutig, und noch viel weniger der Zweig von ^^(?/), den wir erhalten, 

 wenn wir durch irgend eine andere Strecke in die positive Halbebene 

 zurückkehren. Dagegen sind die charakteristischen Functionen der 

 Fläche A, angesehen als abhängig von j/, in der ganzen j/- Ebene ein- 

 deutig und regulär, mit Ausnahme der bereits definirten Punkte der 

 reellen Linie. Der in meiner Dissertation eingeführte Begriff der charak- 

 teristischen Functionen einer Fläche zeigt sich demnach als funda- 

 mental auch für das GARATHEonoRv^sche Problem, das dem der con- 

 formen Abbildung mehrfach berandeter ebener Gebiete entschieden 

 verwandt ist. 



Wir müssen absehen von den vorhandenen Grenzpunkten des 

 Gebietes A. Dasjenige Gebiet, das nur durch die Randlinien von A 



