122 Gesamintsitziing vom 30. Januar 190S. 



begrenzt wird, nennen wir 51. Da die Linien als reguläre Curven 

 angenommen sind, so lassen sich die charakteristischen Functionen 

 von 51 definiren als diejenigen im Innern und an der Frenze von 

 51 eindeutigen regulären Functionen von .r, die an der Grenze reelle 

 Werthe haben. Von ihnen gilt folgendes (vgl. meine Dissertation, 

 oder die unter gleichem Titel im Journ. f. Math., Bd. 83 erschienene 

 Arbeit) : 



Sie sind unter einander durch algebraische CTleichungen ver- 

 bunden, und zwar lassen sich auf unendlich viele Arten zwei unter 

 ihnen auswählen: sr=f{x), t = g{x), durch die alle andern rational 

 mit reellen Coefficienten ausgedrückt werden. Das RnoMANN'sche (re- 

 schlecht (7 der algebraischen Gleichung (j(s, t) = o, die zwischen s 

 und t besteht, ist um i kleiner als die Zahl der Randlinien von 51. 

 Ist Xo ein beliebiger Punkt im Innern oder auf der Grenze von 51, so 

 giebt es charakteristische Functionen von x — also rationale von 

 s, t — , die in x^ von der ersten Ordnung verschwinden. Ist t eine 

 solche, so kann man x in eine reguläre Potenzreihe von t entwickeln 

 und deshalb sagen, dass nicht nur s und t sich im Punkte x^ regulär 

 verhalten, sondern auch x an der entsprechenden Stelle des alge- 

 braischen (rebildes eine reguläre Function von s, t ist. Den cr+ i 

 Randlinien von 5( entsprechen, punktweise eindeutig, cr+i reelle 

 Curven des Gebildes {s, t). Ist oc ein Punkt [s, t), der nicht auf einer 

 dieser (t + i reellen Curven liegt, so gehört dazu ein conjugirter {s , t') 

 oder a,', imd zu einem von beiden, aber nur zu einem, ein völlig- 

 bestimmter Punkt X im Innern von 51. Es zerfällt also das Gebilde 

 {s, t) symmetrisch in zwei conjugirte Hälften, die durch die cr+ i 

 reellen Curven von einander getrennt sind: diejenige Hälfte, die dem 

 Gebiete 51 entspricht, nennen wir A. Durch die Gleichungen s=f{x), 

 t =. (j[x) wird demnach eine eindeutige reguläre Beziehung [s, t; x) 

 zwischen A und 51 hergestellt: und zwar ist sie eindeutig -regvüär 

 mit Einschluss der Grenzen. 



Sondern wir jetzt von A diejenigen im Innern gelegenen Punkte 

 ab, die den Grenzpunkten von A entsprechen. Wir nennen sie « und 

 die conjugirten a! ; letztere liegen ausserhalb. Wir bezeichnen ferner 

 mit D das Continuum , welches von A übrig bleibt , wenn man die 

 Punkte OL fortlässt. Dann haben wh- einen Bereich D, der genau 

 ebenso viele Grenzpunkte und Grenzlinien besitzt wie A, und 

 {s,t; x) ist eine vollständig reguläre eindeutige Beziehung zwischen 

 A und D, mit Einschluss der Grenzpunkte und Grenzlinien. Fügen 

 wir noch die andere Beziehung {x , y) hinzu , so entspringt aus beiden 

 eine reguläre Beziehung zwischen D und der positiven Halbebene: 

 {s,t\y). Aber diese letztere Beziehung kann analytisch fortgesetzt 



