Schottky: Über Bezieliiingen zwischen ebenen Flächen. II. 12H 



werden, einerseits über die reellen (nirven des Gebildes hinaus, 

 andererseits über die reelle Linie der y- Ebene, und zwar einfach da- 

 durch, dass man conjugirten Werthen von y conjugirte Punkte des 

 algebraischen Gebildes entsprechen lässt. Dies ist zulässig, da die 

 Variable v/ reell ist, wenn man den Punkt {s,t) auf eine Randlinie 

 von 1) und somit den Punkt x auf eine Randlinie von iX beschränkt. 



Nun können wir [s . t : ij) auffassen als eine gegenseitig reguläre 

 Bezielmng zwischen dem ganzen Gebilde (x , /) , von dem nur die 

 Punktepaare oi , a' ausgeschlossen sind, und der ganzen y- Ebene, von 

 der allerdings die unendlich vielen singulären der reellen Linie aus- 

 zuschliessen sind. Hierbei sind s und t eindeutige Functionen von y 

 in der ganzen Ebene: y ist eine unendlich vieldeutige vons,;', die 

 nur Singular wird in den Punktepaaren cl , a! . Die Art, wie y in den 

 Punkten u. , d unendlich wird , ist natürlich diese : eine reelle lineare 

 Function von ?/ muss sich in der Form — / log ( A') darstellen lassen, 

 wo E eine an der betrachteten Stelle reguläre Function von (s , t) ist, 

 die in diesem Punkte von der ersten Ordnung verschwindet. 



Beschreibt der Punkt {s , t) eine geschlossene Linie, die innerhalb 

 D verläuft, so entspricht dieser eine geschlossene Linie m. A\ es er- 

 fährt demnach y eine Transformation der schon vorher definirten 

 Gruppe. Beschreibt aber (s , t) einen Weg in Z), der von einer reellen 

 Gurve zu einer anderen führt , und kehrt dann auf dem symmetrisch 

 entsprechenden Wege zu dem Anfangspunkt zurück, so nimmt offen- 

 bar auch y den anfänglichen Wertli wieder an. Da man nun jeden 

 Perioden weg zerlegen kann in zwei geschlossene Wege, von denen 

 der eine innerhalb 1) verläuft, während der andere symmetiisch ist, 

 so sieht man, dass y aufgeschlossenen Wegen des Gebildes überhaupt 

 keine andern Transformationen erfährt, als die der bereits definirten 

 Gruppe. 



Sind Grenzpunkte von A , und somit auch Punktepaare a , a! , 

 nicht vorhanden, so kann man sagen, dass die Gleichung G (s ,/) = o 

 vollständig aufgelöst wird, indem man ^' und / als eindeutige Func- 

 tionen von y darstellt. Im anderen Falle sind die Punkte a, , et von 

 der regulären Darstellung ausgeschlossen. 



Setzt man -—- = - , so genügt u der linearen Differential- 



gleichung, 



in der p eine reelle rationale Function von s , t bedeutet. Nehmen 

 wir an, dass t in einem der Punkte a. , a! den Werth 4 hat, und dass 



