1 24 Gesainmtsitzung vom 30. Januar 1908. 



t — 4 in diesem Punkte nur A^on der ersten Ordnung verschwindet. 

 Alsdann wird j) an derselben Stelle unendlich von der zweiten 

 Ordnung, und zwar ist dort /\.p{t — 4)' gleich i. Dies sind die 

 eigentlich singulären Punkte der Differentialgleichung: als uneigent- 

 liche kommen diejenigen hinzu, in denen das Differential dt ver- 

 schwindet oder unendlich wird. Dem Falle, wo gar keine Grenz- 

 punkte, sondern nur Cxrenzlinien existiren, entspricht diejenige Classe 

 linearer Differentialgleichungen mit algebraischen Coefticienten , die 

 gar keine eigentlichen singulären Punkte besitzen. 



Wir haben hier diejenigen Functionen s= F(y), /= G(y) be- 

 trachtet, in welche die charakteristischen f(x) und ^(.r) übergchn, 

 wenn man die Variable y einfuhrt. Dies sind eindeutige automorphe 

 Functionen; man kann sie — wenigstens in dem Hauptfalle, wo keine 

 Grenzpunkte existiren; der andre kann als Grenzfall aufgefasst werden 

 — durch Producte linearer Functionen von y darstellen, faUs man 

 die linearen Substitutionen als gegeben annimmt. Andi-erseits sind 

 die charakteristischen Functionen /(a) und 9(0;), wenn nicht in andrer 

 Weise, durch das DiKicHLETSche Princip bestimmt. Durch die beiden 

 Gleichungen f{x) = F{y), <j{x) = G{y) wird die Beziehung {.v,y) de- 

 finirt; es Averden aber damit zugleich — da man zwei Gleichungen 

 hat — auch die Coefficienten der linearen Substitutionen festgelegt. 



§4- 



Ich kehre zu den besonderen Fällen zurück. 



Es sei wieder B die positive Halbebene, A die ganze Ebene, 

 mit Ausnahme einer endlichen Anzahl sich nicht schneidender Strecken. 

 Diese sollen alle auf einer Geraden liegen, und zwar auf der reellen 

 Linie. Der Fall, wo einzelne sich auf Punkte reduciren, wird sich 

 von selbst ergeben. 



Die Grenzen von A sind hier nicht reguläre Linien, sondern 

 eigentlich zweiseitige Polygone, und die charakteristischen Functionen 

 von A sind in dem Endpunkte a einer solchen Strecke im Allgemeinen 

 nicht reguläre Functionen von x, nur von Vx — n. Indessen gehört 

 in diesem Falle die Variable .r selbst mit zu den charakteristischen 

 Functionen; man kann t ^ x setzen; eine zweite ist: 



.<( = V—n{x — a) , 



und durch .s , t lassen sich alle übrigen rational ausdrücken. 



Die Endpunkte der Strecken betrachten wir nicht als unmittelbar 

 gegeben; wir definiren sie, um die Auflösmig transcendenter Glei- 

 chungen zu vermeiden, auf folgende Weise: 



