vScboitky: Über Beziehungen zwischen ebenen Flächen. II. 125 



Wir nohiiion in der y-Ebene oiiio Anzahl von Krei.sen an, deren 

 Mittelpunkte alle auf der reellen Linie liegen, und deren Flächen sich 

 gegenseitig Aveder decken noch berühren. Es ist zidässig, dass einer 

 dieser Kreise alle übrigen umschliesst: unter seiner Fläche verstehen 

 wir dann das tiebiet ausserhalb der Peripherie. Ebenso kann an die 

 Stelle eines der Kreise eine Gerade treten, die auf der reellen Linie 

 senkrecht steht. 



Das durch die angegebenen Linien begrenzte Gebiet wird durch 

 die reelle Linie symmetrisch in zwei Hälften zerlegt. Die obere Hälfte 

 nennen wir C; sie ist ein Polygon mit lauter rechten Winkeln, dessen 

 Seiten abwechselnd durch Halbki-eise und Strecken der reellen Geraden 

 gebildet werden. Dieses Gebiet C denken wir uns conform abgebildet 

 auf die obere Hälfte der .r-Ebene. Wir führen also eine Function x 

 von y ein, die innerhalb C nvu- Werthe der positiven Halbebene an- 

 nimmt, und zwar jeden einmal. Lässt man 1/ von einer bestimmten 

 Stelle die Randlinie von C in positivem Sinne durchlaufen, so durch- 

 läuft .r stetig wachsend alle reellen Werthe von — 00 bis +00. x ist 

 ausserdem im Innern und auf der Grenze von C eine regidäre Function 



dx 

 von y, aber es verschwindet , in den Eckpunkten von der ersten 



dl/ 



Ordnung. 1/ ist eine reguläre Function von x im Innern der positiven 

 Halbebene; auf ihrer Grenze, also auf der reellen Linie, bilden die- 

 jenigen Punkte eine Ausnahme, die den Eckpunkten von C entsprechen. 



Diese Punkte bezeichnen wir mit (n). Durch sie zerfallt die reelle 

 Linie der .r-Ebene in eine Anzahl von Intervallen. Wir wollen die- 

 jenigen Intervalle gerade nennen, die den geradlinigen Stücken der 

 Grenze von C entsprechen, die übrigen ungerade. 



Betrachten wir zuerst x als Function von y. An jedem der 

 Halbkreise, die zur Begrenzung von C gehören, ist x reell. Daraus 

 geht hervor, dass die Function über diese Linie hinaus in der Weise 

 fortzusetzen ist, dass sie in dem Bildpunkte den conjugirten Werth 

 erhält. Wir kommen so in ein neues Gebiet C, das genau wie das 

 vorige begrenzt ist durch Theile der reellen Linie und dazwischen 

 liegende Halbkreise. Aber hier nimmt x nur Werthe an , deren zweite 

 Goordinate negativ ist. Wenn wir dies fortsetzen, auch bei den 

 übrigen halbkreisförmigen Randstrecken von C, so wird die ganze 

 positive Halbebene zerlegt in eine Folge von unendlich vielen Ge- 

 bieten. Die Gi-enze zwischen einem Gebiete und einem benachbarten 

 ist stets ein Halbkreis; auf diesem nimmt x nur reelle Werthe an, 

 und zwar solche, die einem ungeraden Intervalle angehören. 



Wenn demnach y sich beliebig in der positiven Halbebene be- 

 wegt, so kann x zwar beliebig oft die reelle Linie durchki-euzen, 



